Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por g(y).
Passo 1
O enunciado define as funções
queremos checar se “f é inversível em [0,\sqrt{\pi/4}] e f^{-1}(y)=g(y)” é verdadeiro.
Passo 2
Primeiro a gente observa a monotonicidade de f nesse intervalo. Como x\in[0,\sqrt{\pi/4}] implica 4x^2\in[0,\pi], a função
é estritamente decrescente em [0,\pi]. Logo
é estritamente decrescente, e então
é estritamente crescente. Assim f é injetora e tem inversa nesse intervalo.
Passo 3
Para achar a inversa, colocamos y=f(x) e resolvemos para x:
Como
, vem
Portanto a inversa de f é
Passo 4
Comparando com g(y) definido no enunciado,
vemos que g(y) dá o ramo negativo da raiz, diferente da inversa de f que é positiva. Logo a inversa correta é S(y), não g(y).
Resposta
A afirmação é falsa, pois embora f seja inversível em [0,\sqrt{\pi/4}], sua inversa é dada por S(y), e não por g(y).