Considere as funções
l f(x)=cos (pi-4 x^2)-5 g(y)=-raizpi-arcos(y+5)4, S(y)=raizpi-arcos(y+5)4, T(y)=raizpi-arcos(y-5)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo [0, raiz(pi / 4)] e a inversa é dada por g(y).

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=cosl(pi-4x^2r)-5,
g(y)=-raizpi-arccos(y+5)4,
S(y)=raizpi-arccos(y+5)4,
queremos checar se “f é inversível em [0,\sqrt{\pi/4}] e f^{-1}(y)=g(y)” é verdadeiro.

Passo 2

Primeiro a gente observa a monotonicidade de f nesse intervalo. Como x\in[0,\sqrt{\pi/4}] implica 4x^2\in[0,\pi], a função umapstocos u é estritamente decrescente em [0,\pi]. Logo xmapstocos(4x^2) é estritamente decrescente, e então
f(x)=cos(pi-4x^2)-5=-cos(4x^2)-5
é estritamente crescente. Assim f é injetora e tem inversa nesse intervalo.

Passo 3

Para achar a inversa, colocamos y=f(x) e resolvemos para x:
y=cos(pi-4x^2)-5
y+5=-cos(4x^2)
cos(4x^2)=-(y+5)
Como arccos(-z)=pi-arccos(z), vem
4x^2=arccos(-(y+5))=pi-arccos(y+5)
x=raizpi-arccos(y+5)4
Portanto a inversa de f é
f^-1(y)=S(y)=raizpi-arccos(y+5)4

Passo 4

Comparando com g(y) definido no enunciado,
g(y)=-raizpi-arccos(y+5)4,
vemos que g(y) dá o ramo negativo da raiz, diferente da inversa de f que é positiva. Logo a inversa correta é S(y), não g(y).

Resposta

A afirmação é falsa, pois embora f seja inversível em [0,\sqrt{\pi/4}], sua inversa é dada por S(y), e não por g(y).

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