Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
y^prime prime-4 y^prime+4=(1+x+x^2+cdots+x^27) e^2 x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO y''-4y'+4y=(1+x+x^2+cdots+x^27)e^2x. O conteúdo aqui é EDO linear com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados, notando que há ressonância porque r=2 é raiz dupla do polinômio característico.

Passo 2

Observamos que o operador diferencial pode ser escrito como (D-2)^2, pois (D-2)^2y=y''-4y'+4y. Isso sugere o ansatz yp=e^2xA(x), onde A(x) é um polinômio.

Passo 3

Se yp=e^2xA(x), então aplicando (D-2)^2 obtemos
(D-2)^2yp = A''(x)e^2x
e queremos que isso seja igual a (1+x+cdots+x^27)e^2x. Logo
A''(x)=1+x+x^2+cdots+x^27

Passo 4

Integramos duas vezes para achar A(x). Na primeira integração,
A'(x)=C1+sumk=0^27x^k+1k+1
Na segunda,
A(x)=C1x+C2+sumk=0^27x^k+2(k+1)(k+2)

Passo 5

Como queremos só uma solução particular, escolhemos C1=C2=0. Finalmente,
yp(x)=e^2xsumk=0^27x^k+2(k+1)(k+2)

Resposta

yp(x)=e^2xsumk=0^27x^k+2(k+1)(k+2)

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