Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, 4 raízes distintas;
grau 4, 4 raízes distintas;
Passo 1
O enunciado quer polinômios de grau 4 que tenham exatamente quatro raízes reais distintas. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e multiplicidade de raízes: basta escolher um coeficiente líder não nulo e quatro números diferentes como raízes.
Passo 2
Um polinômio de grau 4 com quatro raízes
distintas pode ser escrito de forma fatorada como
sendo
e todos os
diferentes entre si. Alterar
apenas estica ou inverte o gráfico sem mudar as raízes.
Passo 3
Exemplo 1: escolha
e raízes em
. Então
O gráfico cruza o eixo
nesses quatro pontos e cresce para
quando
.
Exemplo 2: escolha
e raízes em
. Então
Aqui o coeficiente negativo vira o gráfico de cabeça para baixo.
Exemplo 3: escolha
e raízes em
. Então
O fator
deixa o gráfico mais “achatado” verticalmente e as interseções em quatro pontos distintos.
Passo 4
Você pode criar muitos outros exemplos mudando o valor de
ou as posições das raízes, contanto que sejam quatro valores diferentes.
Resposta
Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com quatro raízes reais distintas são:
p_1(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
p_2(x)=-2,(x+1)x(x-2)(x-5)
p_3(x)=\tfrac12,(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)
p_1(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
p_2(x)=-2,(x+1)x(x-2)(x-5)
p_3(x)=\tfrac12,(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)