Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, 4 raízes distintas;

Passo 1

O enunciado quer polinômios de grau 4 que tenham exatamente quatro raízes reais distintas. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e multiplicidade de raízes: basta escolher um coeficiente líder não nulo e quatro números diferentes como raízes.

Passo 2

Um polinômio de grau 4 com quatro raízes
r1,r2,r3,r4 distintas pode ser escrito de forma fatorada como
p(x)=c,(x-r1),(x-r2),(x-r3),(x-r4)
sendo cneq0 e todos os ri diferentes entre si. Alterar c apenas estica ou inverte o gráfico sem mudar as raízes.

Passo 3

Exemplo 1: escolha c=1 e raízes em 1,2,3,4. Então
p1(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
O gráfico cruza o eixo x nesses quatro pontos e cresce para +infty quando xto+infty.
Exemplo 2: escolha c=-2 e raízes em -1,0,2,5. Então
p2(x)=-2, (x+1)(x-0)(x-2)(x-5)
Aqui o coeficiente negativo vira o gráfico de cabeça para baixo.
Exemplo 3: escolha c=tfrac12 e raízes em -2,-1,1,3. Então
p3(x)=tfrac12,(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)
O fator tfrac12 deixa o gráfico mais “achatado” verticalmente e as interseções em quatro pontos distintos.

Passo 4

Você pode criar muitos outros exemplos mudando o valor de c ou as posições das raízes, contanto que sejam quatro valores diferentes.

Resposta

Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com quatro raízes reais distintas são:
p_1(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
p_2(x)=-2,(x+1)x(x-2)(x-5)
p_3(x)=\tfrac12,(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)

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