Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 3, 3 raízes distintas;
grau 3, 3 raízes distintas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar exemplos de polinômios que sejam de grau 3 e que tenham 3 raízes distintas. Isso significa que estamos trabalhando com polinômios cúbicos, e precisamos encontrar funções que cortem o eixo x em três pontos diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir um polinômio a partir de suas raízes e usar um pouco de álgebra para montar esses exemplos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a forma geral de um polinômio de terceiro grau com três raízes distintas. Se um polinômio $ P(x) $ tem raízes em $ r_1 $, $ r_2 $ e $ r_3 $, ele pode ser escrito da seguinte maneira:
Aqui, $ a $ é um coeficiente diferente de zero que pode esticar ou comprimir o gráfico do polinômio, e $ r_1 $, $ r_2 $ e $ r_3 $ são as raízes distintas.
Passo 3
Agora, vamos criar alguns exemplos escolhendo diferentes valores para as raízes e para o coeficiente $ a $:
Exemplo 1:
- Escolhemos as raízes $ r_1 = 1 $, $ r_2 = 2 $, e $ r_3 = 3 $.
- Vamos deixar $ a = 1 $.
Então, o polinômio fica:
Se quisermos, podemos expandir esse polinômio:
Exemplo 2:
- Escolhemos as raízes $ r_1 = -1 $, $ r_2 = 0 $, e $ r_3 = 2 $.
- Vamos deixar $ a = 2 $.
Então, o polinômio fica:
Expandindo:
Exemplo 3:
- Escolhemos as raízes $ r_1 = -2 $, $ r_2 = 1 $, e $ r_3 = 4 $.
- Vamos deixar $ a = -1 $.
Então, o polinômio fica:
Expandindo:
Resposta
Alguns exemplos de polinômios de grau 3 com 3 raízes distintas são:
- $ P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $
- $ P(x) = 2(x + 1)(x)(x - 2) = 2x^3 - 2x^2 - 4x $
- $ P(x) = -1(x + 2)(x - 1)(x - 4) = -x^3 + 3x^2 + 6x - 8 $
Cada um desses polinômios tem grau 3 e três raízes distintas, atendendo aos requisitos do exercício.