1. Considere as funções f e g dadas por f(x)=2 raizx e g(x)=-8raizx. Determine p>0 de modo que as retas tangentes aos gráficos de f e de g em (p, f(p)) e (p, g(p)), respectivamente, sejam paralelas.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos p>0 de modo que as retas tangentes aos gráficos de f e g em x=p sejam paralelas. Em geometria de funções, tangentes são paralelas quando seus coeficientes angulares coincidem, isto é, quando f'(p)=g'(p).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f e g usando a regra da potência.
Para
f(x)=2raizx=2x^1/2
temos
f'(x)=2cdot12,x^-1/2=x^-1/2=1raizx
Para
g(x)=-8raizx=-8x^-1/2
temos
g'(x)=-8cdotl(-tfrac12r),x^-3/2=4x^-3/2=4x^3/2

Passo 3

Impondo f'(p)=g'(p) obtemos
1raizp=4p^3/2
Multiplicando ambos os lados por p^3/2
p=4

Resposta

p=4

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