Escreva, mas não avalie, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva ao redor do eixo dado.

Passo 1

O enunciado pede a área de superfície gerada pela rotação da curva y=sec x, para 0<x<pi/4, em torno do eixo y. Esse é um problema de revolução de curva em torno do eixo y, e vamos usar a fórmula
S = 2pi integrala^b r(x),ds,
onde r(x) é a distância da curva ao eixo de rotação (aqui r(x)=x) e
ds = raiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y:
dydx=sec xtan x
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ds = raiz1+l(sec xtan xr)^2,dx

Passo 3

Substituindo r(x)=x e ds na fórmula de área de superfície, obtemos
S = 2pi integral0^pi/4 x ,raiz1 + l(sec x,tan xr)^2,dx

Resposta

S = 2pi integral0^pi/4 x raiz1 + (sec x tan x)^2,dx

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