Considere as funções
dadas por
e
.
a) Mostre que:
b) Mostre que:
c) Mostre pela definição que:
d) Mostre pela definição que:
a) Mostre que:
Passo 1
O enunciado define as funções
e
e pede para mostrar dois limites fundamentais da trigonometria e, em seguida, calcular as derivadas de
e
pela definição. Para isso vamos usar desigualdades trigonométricas, identidades e o teorema do confronto.
Passo 2
Provar que
.
Para vale a desigualdade geométrica
Para
Dividindo todos os termos por
(positivo) obtemos
Como
, pelo teorema do confronto segue
Para
usa-se
, concluindo o mesmo valor.
Passo 3
Provar que
.
Usamos a identidade
Usamos a identidade
Então
Como
, o fator
e sobra
.
Passo 4
Calcular
pela definição
Pela fórmula de soma de ângulos,
Portanto
Passo 5
Calcular
pela definição
Usando soma de ângulos,
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Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)