Considere as funções f, g: R R dadas por f(x)=sin x e g(x)=cos x.
a) Mostre que:
lim h 0 sin hh=1
b) Mostre que:
lim h 0 cos h-1h=0
c) Mostre pela definição que:
f^prime(x)=cos x
d) Mostre pela definição que:
g^prime(x)=-sin x

Passo 1

O enunciado define as funções f(x)=sin x e g(x)=cos x e pede para mostrar dois limites fundamentais da trigonometria e, em seguida, calcular as derivadas de f e g pela definição. Para isso vamos usar desigualdades trigonométricas, identidades e o teorema do confronto.

Passo 2

Provar que limhto 0sin hh=1.
Para 0<h<tfracpi2 vale a desigualdade geométrica
sin h < h < tan h
Dividindo todos os termos por sin h (positivo) obtemos
1 < hsin h < 1cos h Longrightarrow cos h < sin hh < 1
Como limhto0cos h=1, pelo teorema do confronto segue
limhto0sin hh=1
Para h<0 usa-se sin(-h)/(-h)=sin h/h, concluindo o mesmo valor.

Passo 3

Provar que limhto0cos h-1h=0.
Usamos a identidade
cos h - 1 = -2sin^2!l(h2r)
Então
cos h - 1h = -2,sin^2!l(tfrach2r)h = -2l(sin(tfrach2)tfrach2r)^2!(h/2)^2h = -l(sin(tfrach2)tfrach2r)^2!h2
Como limuto0sin uu=1, o fator l(tfracsin(h/2)h/2r)^2to1 e sobra limhto0(-h/2)=0.

Passo 4

Calcular f'(x) pela definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0sin(x+h)-sin xh
Pela fórmula de soma de ângulos,
sin(x+h)-sin x =sin xcos h + cos xsin h - sin x =sin xl(cos h -1r) + cos x,sin h
Portanto
f'(x) =limhto0l[sin xcos h-1h + cos xsin hhr] =sin xcdot 0 + cos xcdot 1 =cos x

Passo 5

Calcular g'(x) pela definição
g'(x)=limhto0g(x+h)-g(x)h =limhto0cos(x+h)-cos xh
Usando soma de ângulos,
cos(x+h)-cos x =cos xcos h - sin xsin h - cos x =cos xl(cos h -1r) - sin x,sin h
Logo
g'(x) =limhto0l[cos xcos h-1h - sin xsin hhr] =cos xcdot 0 - sin xcdot 1 =-sin x

Resposta

a) limhto0sin hh=1
b) limhto0cos h-1h=0
c) f'(x)=cos x
d) g'(x)=-sin x

Exercícios relacionados