Se C é o segmento de reta em R^3 com início no ponto (0,1,0) e final no ponto (1,3,1), então
integralC x d r
é igual a
(A) (1,1,1).
(B) (12, 1, 12).
(C) (1,0,0).
(D) (12, 12, 12).
(E) (1,2,1).
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha vetorial
integralC x,dvec r
ao longo do segmento que vai de (0,1,0) a (1,3,1). O conteúdo aqui é integral de linha de um escalar multiplicando o vetor diferencial, que resulta num vetor cujas componentes são
integralC x,dx, integralC x,dy e integralC x,dz. Para resolver, vamos parametrizar C como uma reta e expressar dx, dy e dz.

Passo 2

Parametrizamos C por
vec r(t) = (t,;1+2t,;t), tin[0,1],
de modo que vec r(0)=(0,1,0) e vec r(1)=(1,3,1). Derivando, obtemos
dvec rdt = (1,2,1), logo
dvec r = (1,2,1),dt

Passo 3

Na parametrização, temos x=t. Assim, a integral de linha vetorial separa-se em
integralC x,dvec r = l(integral0^1 tcdot 1,dt,;integral0^1 tcdot 2,dt,;integral0^1 tcdot 1,dtr)

Passo 4

Calculamos cada componente:
integral0^1 t,dt = 12, integral0^1 2t,dt = 2cdot12 = 1, integral0^1 t,dt = 12

Passo 5

Portanto,
integralC x,dvec r = l(tfrac12,;1,;tfrac12r),
que corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B)

Exercícios relacionados