Se
é a região de
do primeiro quadrante interior ao círculo
, então
é igual a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(F) outro valor.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F) outro valor.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
que é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante, ou seja,
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas polares para integrar em regiões circulares, lembrando que em coordenadas polares
,
e
.
Passo 2
Expressamos a integral em polares. Como estamos no primeiro quadrante, temos
de
a
e
de
a
. Assim:
Passo 3
Separamos em duas integrais:
Calculando
, vem
Passo 4
Agora a parte constante:
é simplesmente a área de
, que é um quarto de círculo de raio
, ou seja
Passo 5
Somando as duas contribuições:
Comparando com as alternativas, isso corresponde à opção (E).
Resposta
(E)