Se R é a região de R^2 do primeiro quadrante interior ao círculo x^2+y^2=4, então
integral duplaR(3 x+1) d A
é igual a
(A) 8+pi2.
(B) 4+pi2.
(C) 4+pi.
(D) 83+pi.
(E) 8+pi.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de (3x+1) sobre a região R que é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante, ou seja,
R = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=4
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas polares para integrar em regiões circulares, lembrando que em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Expressamos a integral em polares. Como estamos no primeiro quadrante, temos theta de 0 a tfracpi2 e r de 0 a 2. Assim:
integral duplaR(3x+1),dA = integraltheta=0^pi/2integralr=0^2l(3(rcostheta)+1r),r,dr,dtheta

Passo 3

Separamos em duas integrais:
integral duplaR3x,dA =3integral0^pi/2!!integral0^2(rcostheta),r,dr,dtheta =3integral0^pi/2costhetal(integral0^2r^2,drr)dtheta
Calculando integral0^2r^2,dr = 83, vem
integral duplaR3x,dA =3cdot83integral0^pi/2costheta,dtheta =8l[sinthetar]0^pi/2 =8cdot1=8

Passo 4

Agora a parte constante:
integral duplaR1,dA
é simplesmente a área de R, que é um quarto de círculo de raio 2, ou seja
Área(R)=14picdot2^2=pi Á

Passo 5

Somando as duas contribuições:
integral duplaR(3x+1),dA = 8 + pi
Comparando com as alternativas, isso corresponde à opção (E).

Resposta

(E) 8+pi

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