Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\left|x^{2}+x-2\right|

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função f definida por
f(x)=\left|x^{2}+x-2\right|.
Informações que temos no enunciado:
  • A expressão interna da valor absoluto é o polinômio quadrático x^{2}+x-2.
  • A variável independente é x (real).
    O objetivo é obter um esboço do gráfico: pontos importantes, formato das curvas em cada região, máximos/mínimos relevantes e comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 2

Encontrar as raízes do polinômio x^{2}+x-2 (pontos onde o interior do valor absoluto vale zero). Isso ajuda a saber onde o sinal muda.
Fatorando:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Portanto as raízes são x=-2 e x=1. Assim os pontos onde f(x)=0 são (-2,0) e (1,0).

Passo 3

Determinar o sinal de g(x)=x^{2}+x-2 nos intervalos determinados pelas raízes, para saber como o valor absoluto atua.
  • Para x<-2: escolha x=-3. Calcula-se g(-3)=(-3)^{2}+(-3)-2=9-3-2=4>0. Logo g(x)>0 em x<-2.
  • Para -2<x<1: escolha x=0. Calcula-se g(0)=0^{2}+0-2=-2<0. Logo g(x)<0 em -2<x<1.
  • Para x>1: escolha x=2. Calcula-se g(2)=4+2-2=4>0. Logo g(x)>0 em x>1.
Conclusão: o polinômio é positivo nas regiões externas (-\infty,-2) e (1,\infty) e negativo no intervalo interno (-2,1).

Passo 4

Transformar [f) em uma expressão por partes usando o resultado do Passo 3. O valor absoluto age assim:
  • Se g(x)\ge 0 então |g(x)|=g(x).
  • Se g(x)<0 então |g(x)|=-g(x).
Logo podemos escrever
f(x)=\begin{cases} x^{2}+x-2, & x\le -2,\\[4pt] -(x^{2}+x-2)= -x^{2}-x+2, & -2\le x\le 1,\\[4pt] x^{2}+x-2, & x\ge 1. \end{cases}
(As igualdades nos extremos x=-2\] e \(x=1 dão f(-2)=f(1)=0.)]

Passo 5

Encontrar o vértice da parábola original g(x)=x^{2}+x-2 para entender o que acontece dentro do intervalo (-2,1).
Usando completar o quadrado:
x^{2}+x-2=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4}-2=\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{9}{4}.
Portanto g tem mínimo em x=-\tfrac{1}{2} com valor g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{9}{4}.
Como g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)<0, ao aplicar o valor absoluto esse ponto vira
f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\left|g\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)\right|=\tfrac{9}{4}.
Observação importante: dentro de (-2,1) a função f é -g(x), isto é uma parábola voltada para baixo; por isso x=-\tfrac{1}{2} é um ponto de máximo local de f com altura \tfrac{9}{4}.

Passo 6

Determinar derivadas laterais nos pontos x=-2 e x=1 para ver se o gráfico tem canto ou é suave nesses pontos.
A derivada de g é g'(x)=2x+1.
  • Para x<-2 e x>1 temos f=g então f'(x)=g'(x)=2x+1.
  • Para -2<x<1 temos f=-g então f'(x)=-g'(x)=-(2x+1)=-2x-1.
    Agora as derivadas laterais:
  • Em x=-2: derivada à esquerda f'_-( -2)=g'(-2)=2(-2)+1=-3. Derivada à direita f'_+( -2)= -g'(-2)=3. Como -3\neq 3, há um canto (vértice angular) em (-2,0).
  • Em x=1: derivada à esquerda f'_-(1)=-g'(1)=-3. Derivada à direita f'_+(1)=g'(1)=3. Como -3\neq 3, há um canto em (1,0).
Portanto o gráfico é contínuo mas tem cantos em (-2,0) e (1,0).

Passo 7

Pegue alguns pontos auxiliares para facilitar o esboço (todos calculados sem calculadora):
  • f(-3)=g(-3)=(-3)^{2}+(-3)-2=9-3-2=4.
  • f(-2)=0 (já visto).
  • f(0)=|g(0)|=|-2|=2.
  • f(1)=0.
  • f(2)=g(2)=4.
  • Ponto especial: f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{9}{4}=2{,}25 (máximo local entre as raízes).

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o esboço na prova:
  1. Marque no eixo x os pontos x=-2, x=-\tfrac{1}{2} e x=1.
  2. Marque os pontos do gráfico: (-2,0), (-{\tfrac{1}{2}},{\tfrac{9}{4}}), (1,0), e mais pontos auxiliares como (-3,4), (0,2), (2,4).
  3. Para x\le -2 e para x\ge 1 desenhe a parábola original voltada para cima (mesma curvatura de y=x^{2}+x-2), passando por (-3,4), (-2,0) e (2,4).
  4. Para -2\le x\le 1 desenhe a parábola refletida (ou seja, a parábola voltada para baixo dada por -x^{2}-x+2), com máximo em (-{\tfrac{1}{2}},{\tfrac{9}{4}}) e passando por (-2,0) e (1,0).
  5. Note os cantos agudos em (-2,0) e (1,0); o gráfico é contínuo, sem pontos isolados.

Resposta

f(x)=\left|x^{2}+x-2\right|= \begin{cases} x^{2}+x-2, & x\le -2,\\[4pt] -x^{2}-x+2, & -2\le x\le 1,\\[4pt] x^{2}+x-2, & x\ge 1, \end{cases}
Pontos chave: zeros em (-2,0) e (1,0); máximo local em \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{4}\right) (no trecho interno); cantos em (-2,0) e (1,0); comportamento para x\to\pm\infty igual ao de x^{2} (vai para +\infty).]

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