Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}.
  • Pergunta: desenhar (esboçar) o gráfico de f no eixo x- y.
  • Dados relevantes a extrair do enunciado: a presença de valor absoluto |x-1| e um denominador x-1 que pode anular-se quando x=1.

Passo 2

Determinar o domínio da função (onde ela está definida).
  • A função tem denominador x-1. Quando x=1 o denominador é zero; portanto f(1) não está definida (não existe valor real).
  • Conclusão: o domínio é \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Transformar a expressão usando a definição do valor absoluto para separar os casos [x>1), x<1 (e verificar x=1).
Lembrando a definição básica do valor absoluto: para qualquer número real t,
|t|=\begin{cases} t, & t\ge 0,\\[4pt] -t, & t<0. \end{cases}
Aqui t=x-1\]. Então: - Se \(x>1, então x-1>0 e |x-1|=x-1.
- Se x<1, então x-1<0 e |x-1|=-(x-1).
- Em x=1, |x-1|=0 mas o denominador também é 0, então a função fica indefinida nesse ponto.]

Passo 4

Calcular f(x) nos dois ramos ( x>1 e x<1) de forma algébrica, seguindo a substituição do passo anterior.
  • Para x>1:
f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.
Então, para todo x>1, f(x)=1.
  • Para x<1:
f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1.
Então, para todo x<1, f(x)=-1.
  • Para x=1: f(1) não está definida (forma 0/0).
Podemos resumir em forma por partes:
f(x)=\begin{cases} -1, & x<1,\\[4pt] \text{indefinida}, & x=1,\\[4pt] 1, & x>1. \end{cases}]

Passo 5

Analisar limites laterais em x=1 e o tipo de descontinuidade.
  • Limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x)=-1,
pois para x<1 a função vale constantemente -1.
  • Limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}f(x)=1,
pois para x>1 a função vale constantemente 1.
Como os limites laterais são diferentes ( -1 e 1), há uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity) em x=1. E não há valor da função em x=1 (ponto removido/indefinido).

Passo 6

Como esboçar o gráfico passo a passo (sem calculadora), com interpretação geométrica e pontos de referência:
  1. Para x<1: desenhe uma reta horizontal em y=-1. Essa parte é a linha constante y=-1 que se estende para a esquerda até -\infty e termina antes de x=1.
    • Marque um círculo aberto (ponto excluído) em (1,-1) porque a função não está definida em x=1.
  2. Para x>1: desenhe uma reta horizontal em y=1. Essa parte é a linha constante y=1 que se estende para a direita até +\infty e começa após x=1.
    • Marque um círculo aberto em (1,1).
  3. Não coloque nenhum ponto preenchido em x=1 — a função não existe ali.
  4. Exemplos numéricos rápidos para confirmar visualmente:
    • f(0)= -1 (ponto sobre a linha y=-1).
    • f(2)= 1 (ponto sobre a linha y=1).
Resultado visual: duas linhas horizontais paralelas, uma em y=-1 para x<1 e outra em y=1 para x>1, com dois círculos abertos em (1,-1) e (1,1).

Passo 7

Comentário final curto e motivador: é um gráfico bem simples — é basicamente a função sinal deslocada — então na prova faça primeiro a análise do valor absoluto em duas regiões, simplifying em cada uma; assim o desenho sai rapidinho!

Resposta

Para x<1:\;f(x)=-1.
Para x>1:\;f(x)=1.
Em x=1:\;f não está definida (há salto: \lim_{x\to1^-}f(x)=-1, \lim_{x\to1^+}f(x)=1).

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