Aqui t=x-1\]. Então:
- Se \(x>1, então x-1>0 e |x-1|=x-1.
- Se x<1, então x-1<0 e |x-1|=-(x-1).
- Em x=1, |x-1|=0 mas o denominador também é 0, então a função fica indefinida nesse ponto.]
Passo 4
Calcular f(x) nos dois ramos (x>1 e x<1) de forma algébrica, seguindo a substituição do passo anterior.
Analisar limites laterais em x=1 e o tipo de descontinuidade.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x)=-1,
pois para x<1 a função vale constantemente -1.
Limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}f(x)=1,
pois para x>1 a função vale constantemente 1.
Como os limites laterais são diferentes (-1 e 1), há uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity) em x=1. E não há valor da função em x=1 (ponto removido/indefinido).
Passo 6
Como esboçar o gráfico passo a passo (sem calculadora), com interpretação geométrica e pontos de referência:
Para x<1: desenhe uma reta horizontal em y=-1. Essa parte é a linha constante y=-1 que se estende para a esquerda até -\infty e termina antes de x=1.
Marque um círculo aberto (ponto excluído) em (1,-1) porque a função não está definida em x=1.
Para x>1: desenhe uma reta horizontal em y=1. Essa parte é a linha constante y=1 que se estende para a direita até +\infty e começa após x=1.
Marque um círculo aberto em (1,1).
Não coloque nenhum ponto preenchido em x=1 — a função não existe ali.
Exemplos numéricos rápidos para confirmar visualmente:
f(0)= -1 (ponto sobre a linha y=-1).
f(2)= 1 (ponto sobre a linha y=1).
Resultado visual: duas linhas horizontais paralelas, uma em y=-1 para x<1 e outra em y=1 para x>1, com dois círculos abertos em (1,-1) e (1,1).
Passo 7
Comentário final curto e motivador: é um gráfico bem simples — é basicamente a função sinal deslocada — então na prova faça primeiro a análise do valor absoluto em duas regiões, simplifying em cada uma; assim o desenho sai rapidinho!
Resposta
Para x<1:\;f(x)=-1.
Para x>1:\;f(x)=1.
Em x=1:\;f não está definida (há salto: \lim_{x\to1^-}f(x)=-1, \lim_{x\to1^+}f(x)=1).