Considere as funções f, g, h, r, s, t definidas por:
\begin{aligned} & f(x)=\sqrt{9-|2 x-1|} \quad g(x)=\sqrt{\frac{x^{2}+x-6}{x-1}} \quad h(x)=\sqrt{x^{2}+2 x-3} \quad r(x)=\frac{1}{x^{2}-16} \\\ & s(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}} t(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}} \end{aligned}
a. Determine a expressão das funções u(x)=f(x)+h(x) e v(x)=h(x) \cdot r(x).
b. Determine o domínio das funções: f, g, h, r, s, t, u, v.

Passo 1

O enunciado dá seis funções:
\begin{aligned} & f(x)=\sqrt{9-|2x-1|},\qquad g(x)=\sqrt{\frac{x^{2}+x-6}{x-1}},\qquad h(x)=\sqrt{x^{2}+2x-3},\\\ & r(x)=\frac{1}{x^{2}-16},\qquad s(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|-x}},\qquad t(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}. \end{aligned}
Pede-se:
a) escrever as expressões das funções u(x)=f(x)+h(x) e v(x)=h(x)\cdot r(x);
b) determinar o domínio de cada uma das funções f,g,h,r,s,t,u,v.
Informações relevantes dadas: as fórmulas explícitas acima. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro ponto pedido (a): escrever as expressões de u e v. Basta somar e multiplicar as fórmulas dadas (sem ainda preocupar com domínio):
u(x)=f(x)+h(x)=\sqrt{9-|2x-1|}+\sqrt{x^{2}+2x-3},
v(x)=h(x)\cdot r(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+2x-3}}{x^{2}-16}.

Passo 3

Agora vamos determinar domínios. Regra básica para funções com raiz quadrada: a expressão dentro de \sqrt{\;} deve ser maior ou igual a zero (argumento \ge 0); para frações, o denominador não pode ser zero. Sempre que houver produto/soma de funções, o domínio é a interseção dos domínios das partes.
Começo por f(x)=\sqrt{9-|2x-1|}.

Passo 4

Determinar o domínio de f. Deve valer
9-|2x-1|\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |2x-1|\le 9.
Resolver a desigualdade com valor absoluto: -9\le 2x-1\le 9. Somando 1:
-8\le 2x\le 10.
Dividindo por 2:
-4\le x\le 5.
Portanto o domínio de f é o intervalo
\mathcal{D}(f)=[-4,5].

Passo 5

Determinar o domínio de h(x)=\sqrt{x^{2}+2x-3}. Precisa que
x^{2}+2x-3\ge 0.
Factorizando o polinômio: x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1). Uma parábola com concavidade para cima é não negativa fora do intervalo entre as raízes. As raízes são x=-3 e x=1. Logo
\mathcal{D}(h)=(-\infty,-3]\cup[1,\infty).

Passo 6

Determinar o domínio de r(x)=\dfrac{1}{x^{2}-16}. Só é preciso que o denominador seja diferente de zero:
x^{2}-16\ne 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne \pm 4.
Logo
\mathcal{D}(r)=\mathbb{R}\setminus\{-4,4\}.

Passo 7

Determinar o domínio de s(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x|-x}}. Aqui há duas condições ao mesmo tempo:
  1. o argumento da raiz deve ser \ge 0: |x|-x\ge 0;
  2. o denominador não pode ser zero, então \sqrt{|x|-x}\ne 0, isto é |x|-x>0.
Vamos analisar |x|-x:
  • Se x\ge 0, então |x|=x e |x|-x=0. Isso dá zero no denominador — proibido.
  • Se x<0, então |x|=-x e |x|-x=-x-x=-2x. Como x<0, tem-se -2x>0.
Portanto |x|-x>0 valem todos os x<0. Concluímos
\mathcal{D}(s)=(-\infty,0).

Passo 8

Determinar o domínio de t(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}.
Há uma raiz aninhada. Primeiro a raiz interna exige
1-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\le x\le 1.
Para esses x a quantidade \sqrt{1-x^{2}} toma valores no intervalo [0,1]. Então o radicando externo é
1-\sqrt{1-x^{2}},
que para \sqrt{1-x^{2}}\in[0,1] fica em [0,1]. Em particular é sempre \ge 0 quando -1\le x\le 1. Portanto não surge restrição extra além de |x|\le 1. Assim
\mathcal{D}(t)=[-1,1].

Passo 9

Determinar o domínio de g(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}+x-6}{x-1}}. Aqui temos duas coisas: o denominador x-1 não pode ser zero ( x\ne 1) e a fração inteira deve ser \ge 0:
\frac{x^{2}+x-6}{x-1}\ge 0,\qquad x\ne 1.
Primeiro fatorar o numerador: x^{2}+x-6=(x+3)(x-2). Então a expressão é
\frac{(x+3)(x-2)}{x-1}.
Os pontos críticos para o sinal são x=-3 (zero do numerador), x=2 (zero do numerador) e x=1 (zero do denominador). Fazendo um quadro de sinais (método padrão: analisar o sinal em cada intervalo determinado por esses pontos):
  • Para x<-3 (por exemplo x=-4): (x+3)<0, (x-2)<0, (x-1)<0. Produto/número de sinais: numerador >0 (neg·neg), denominador <0 → fração <0. Portanto não serve.
  • Para -3<x<1 (por exemplo x=0): (x+3)>0, (x-2)<0, (x-1)<0. Numerador <0 (pos·neg), denominador <0 → fração >0. Portanto essa faixa é permitida.
  • Para 1<x<2 (por exemplo x=1{,}5): (x+3)>0, (x-2)<0, (x-1)>0. Numerador <0, denominador >0 → fração <0. Não serve.
  • Para x>2 (por exemplo x=3): (x+3)>0, (x-2)>0, (x-1)>0. Numerador >0, denominador >0 → fração >0. Serve.
Também pontos em que a fração é zero são permitidos (porque \sqrt{0}=0), isto é x=-3 e x=2 são permitidos (desde que não coincidam com x\ne 1, e não coincidem). O ponto x=1 está proibido porque anula o denominador.
Portanto o domínio de g é
\mathcal{D}(g)=[-3,1)\cup[2,\infty).

Passo 10

Determinar o domínio de u(x)=f(x)+h(x). Regra: domínio da soma é a interseção dos domínios de f e h.
\mathcal{D}(f)=[-4,5],\qquad \mathcal{D}(h)=(-\infty,-3]\cup[1,\infty).
A interseção é
\mathcal{D}(u)=[-4,5]\cap\bigl((-\infty,-3]\cup[1,\infty)\bigr) = [-4,-3]\cup[1,5].

Passo 11

Determinar o domínio de v(x)=h(x)\cdot r(x). Regra: domínio do produto é a interseção dos domínios de h e r.
\mathcal{D}(h)=(-\infty,-3]\cup[1,\infty),\qquad \mathcal{D}(r)=\mathbb{R}\setminus\{-4,4\}.
Interseção = retirar de \mathcal{D}(h) os pontos proibidos -4 e 4 (se estiverem presentes). O ponto -4 pertence a (-\infty,-3], portanto deve ser excluído; o ponto 4 pertence a [1,\infty), portanto deve ser excluído. Assim
\mathcal{D}(v)=(-\infty,-4)\cup(-4,-3]\cup[1,4)\cup(4,\infty).

Resposta

(a) u(x)=\sqrt{9-|2x-1|}+\sqrt{x^{2}+2x-3}
(a) v(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2x-3}}{x^{2}-16}
(b) \mathcal{D}(f)=[-4,5]
(b) \mathcal{D}(g)=[-3,1)\cup[2,\infty)
(b) \mathcal{D}(h)=(-\infty,-3]\cup[1,\infty)
(b) \mathcal{D}(r)=\mathbb{R}\setminus\{-4,4\}
(b) \mathcal{D}(s)=(-\infty,0)
(b) \mathcal{D}(t)=[-1,1]
(b) \mathcal{D}(u)=[-4,-3]\cup[1,5]
(b) \mathcal{D}(v)=(-\infty,-4)\cup(-4,-3]\cup[1,4)\cup(4,\infty)

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