Considere as funções
definidas por:
a. Determine a expressão das funções
e
.
b. Determine o domínio das funções:
.
b. Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado dá seis funções:
Pede-se:
a) escrever as expressões das funções e
;
b) determinar o domínio de cada uma das funções .
a) escrever as expressões das funções
b) determinar o domínio de cada uma das funções
Informações relevantes dadas: as fórmulas explícitas acima. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro ponto pedido (a): escrever as expressões de
e
. Basta somar e multiplicar as fórmulas dadas (sem ainda preocupar com domínio):
Passo 3
Agora vamos determinar domínios. Regra básica para funções com raiz quadrada: a expressão dentro de
deve ser maior ou igual a zero (argumento
); para frações, o denominador não pode ser zero. Sempre que houver produto/soma de funções, o domínio é a interseção dos domínios das partes.
Começo por
.
Passo 4
Determinar o domínio de
. Deve valer
Resolver a desigualdade com valor absoluto:
. Somando
:
Dividindo por
:
Portanto o domínio de
é o intervalo
Passo 5
Determinar o domínio de
. Precisa que
Factorizando o polinômio:
. Uma parábola com concavidade para cima é não negativa fora do intervalo entre as raízes. As raízes são
e
. Logo
Passo 6
Determinar o domínio de
. Só é preciso que o denominador seja diferente de zero:
Logo
Passo 7
Determinar o domínio de
. Aqui há duas condições ao mesmo tempo:
- o argumento da raiz deve ser
: ; - o denominador não pode ser zero, então
, isto é .
Vamos analisar
:
- Se
, então e . Isso dá zero no denominador — proibido. - Se
, então e . Como , tem-se .
Portanto
valem todos os
. Concluímos
Passo 8
Determinar o domínio de
.
Há uma raiz aninhada. Primeiro a raiz interna exige
Para esses
a quantidade
toma valores no intervalo
. Então o radicando externo é
que para
fica em
. Em particular é sempre
quando
. Portanto não surge restrição extra além de
. Assim
Passo 9
Determinar o domínio de
. Aqui temos duas coisas: o denominador
não pode ser zero (
) e a fração inteira deve ser
:
Primeiro fatorar o numerador:
. Então a expressão é
Os pontos críticos para o sinal são
(zero do numerador),
(zero do numerador) e
(zero do denominador). Fazendo um quadro de sinais (método padrão: analisar o sinal em cada intervalo determinado por esses pontos):
- Para
(por exemplo ): , , . Produto/número de sinais: numerador (neg·neg), denominador → fração . Portanto não serve. - Para
(por exemplo ): , , . Numerador (pos·neg), denominador → fração . Portanto essa faixa é permitida. - Para
(por exemplo ): , , . Numerador , denominador → fração . Não serve. - Para
(por exemplo ): , , . Numerador , denominador → fração . Serve.
Também pontos em que a fração é zero são permitidos (porque
), isto é
e
são permitidos (desde que não coincidam com
, e não coincidem). O ponto
está proibido porque anula o denominador.
Portanto o domínio de
é
Passo 10
Determinar o domínio de
. Regra: domínio da soma é a interseção dos domínios de
e
.
A interseção é
Passo 11
Determinar o domínio de
. Regra: domínio do produto é a interseção dos domínios de
e
.
Interseção = retirar de
os pontos proibidos
e
(se estiverem presentes). O ponto
pertence a
, portanto deve ser excluído; o ponto
pertence a
, portanto deve ser excluído. Assim
Resposta
(a)
(a)
(a)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)