Seja a função
, para
. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: estique verticalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo 3. Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.
Escreva uma lei para uma função que: estique verticalmente o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
no intervalo
. Pede-se:
- Escrever a lei de uma nova função obtida ao “esticar verticalmente” o gráfico de
por um fator multiplicativo . - Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis) dessa nova função.
- Esboçar o gráfico da nova função.
Informações relevantes que já temos:
- A função original é
, com domínio dado como . - O fator de esticamento vertical pedido é
.
Passo 2
O que significa "esticar verticalmente por um fator
"?
- Uma “transformação vertical” que estica por fator
faz com que cada valor de saída seja multiplicado por . - Ou seja, se
é a função original, a função esticada é dada por . - No nosso caso,
. Portanto, por definição de esticamento vertical,
Comentários intuitivos: imagine que em cada
o ponto
sobe ou desce multiplicando a altura por
. Se
for negativo (como aqui), multiplicar por
torna-o três vezes mais negativo — o gráfico fica “mais rente” e mais profundo.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior à nossa
:
Portanto a lei da nova função é
(para os
do domínio que vamos discutir).
Passo 4
Domínio da nova função:
- A operação que fizemos multiplica os valores da função por
; não envolve dividir por , raiz de , logaritmo nem outra operação que imponha restrição a . - Logo, quaisquer
válidos para continuam válidos para . - Como o enunciado deu o domínio de
como , o domínio de é o mesmo: .
Explicação didática curta sobre “domínio”: o domínio é o conjunto de
que podemos colocar na expressão. Se a transformação não cria novas proibições em
, o domínio permanece.
Passo 5
Imagem (conjunto de valores) de
no domínio
.
- Observação sobre continuidade e extremos:
é uma função polinomial, portanto contínua. Uma função contínua em um intervalo fechado atinge máximo e mínimo (Teorema do valor extremo). Então basta avaliar pontos críticos e/ou extremos do intervalo. - Derivada (opcional, mas explicativa):
. Igualando a zero dá como ponto crítico. - Avaliando pontos importantes:
- No ponto crítico
: - Nas extremidades
e :
- No ponto crítico
- Interpretando:
é o maior valor (máximo) porque para qualquer outro com temos e assim . Os menores valores observados nas extremidades são . Portanto a imagem é o intervalo .
Resumo do raciocínio: a parábola abre para baixo (coeficiente de
negativo), tem vértice em
que é o máximo, e nas extremidades do domínio atinge
, que é o mínimo.
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição + pontos-chave)
- Pontos fundamentais:
, , . Escrevendo-os como pares: , , . - Simetria: a função é par (
), então o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Forma: é uma parábola que abre para baixo e, em relação à
, ficou “mais fechada” (mais íngreme) porque os valores negativos são três vezes mais profundos. - Uma descrição simples do esboço:
- Vértice no ponto
. - Em
a altura é . - Entre
e o gráfico é a curva suave de uma parábola decrescendo de até à medida que se vai de para .
- Vértice no ponto
Um esboço mental: comece em
, suba suavemente até o vértice
e desça simetricamente até
. Esse é o gráfico de
restrito a
.
Passo 7
Recapitulando de forma objetiva e com um empurrãozinho final: você multiplicou todas as alturas por
, obteve a lei
, manteve o domínio
e viu que os valores vão de
até
. Tá certíssimo — agora, se quiser, desenhe rapidamente os três pontos que eu dei e ligue com uma curva suave para praticar o esboço.
Resposta
Domínio:
Imagem: