Seja a função f(x)=-x^{2}, para -1 \leq x \leq 1. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: estique verticalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo 3. Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por f(x) = -x^{2} no intervalo [-1,1]. Pede-se:
  • Escrever a lei de uma nova função obtida ao “esticar verticalmente” o gráfico de f por um fator multiplicativo 3.
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis) dessa nova função.
  • Esboçar o gráfico da nova função.
Informações relevantes que já temos:
  • A função original é f(x)= -x^{2}, com domínio dado como [-1,1].
  • O fator de esticamento vertical pedido é 3.

Passo 2

O que significa "esticar verticalmente por um fator 3"?
  • Uma “transformação vertical” que estica por fator a faz com que cada valor de saída y=f(x) seja multiplicado por a.
  • Ou seja, se f é a função original, a função esticada g é dada por g(x)=a\cdot f(x).
  • No nosso caso, a=3. Portanto, por definição de esticamento vertical,
g(x)=3\cdot f(x).
Comentários intuitivos: imagine que em cada x o ponto (x,f(x)) sobe ou desce multiplicando a altura por 3. Se f(x) for negativo (como aqui), multiplicar por 3 torna-o três vezes mais negativo — o gráfico fica “mais rente” e mais profundo.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior à nossa f(x)= -x^{2}:
g(x)=3\cdot(-x^{2}) = -3x^{2}.
Portanto a lei da nova função é \;g(x)=-3x^{2}\; (para os x do domínio que vamos discutir).

Passo 4

Domínio da nova função:
  • A operação que fizemos multiplica os valores da função por 3; não envolve dividir por x, raiz de x, logaritmo nem outra operação que imponha restrição a x.
  • Logo, quaisquer x válidos para f continuam válidos para g.
  • Como o enunciado deu o domínio de f como [-1,1], o domínio de g é o mesmo: [-1,1].
Explicação didática curta sobre “domínio”: o domínio é o conjunto de x que podemos colocar na expressão. Se a transformação não cria novas proibições em x, o domínio permanece.

Passo 5

Imagem (conjunto de valores) de g no domínio [-1,1].
  1. Observação sobre continuidade e extremos: g(x)=-3x^{2} é uma função polinomial, portanto contínua. Uma função contínua em um intervalo fechado atinge máximo e mínimo (Teorema do valor extremo). Então basta avaliar pontos críticos e/ou extremos do intervalo.
  2. Derivada (opcional, mas explicativa): \;g'(x) = -6x. Igualando a zero dá x=0 como ponto crítico.
  3. Avaliando pontos importantes:
    • No ponto crítico x=0: \;g(0) = -3\cdot 0^{2} = 0.
    • Nas extremidades x=-1 e x=1: \;g(\pm 1) = -3\cdot 1^{2} = -3.
  4. Interpretando: g(0)=0 é o maior valor (máximo) porque para qualquer outro x com |x|>0 temos x^{2}>0 e assim g(x)<0. Os menores valores observados nas extremidades são -3. Portanto a imagem é o intervalo [-3,0].
Resumo do raciocínio: a parábola abre para baixo (coeficiente de x^{2} negativo), tem vértice em (0,0) que é o máximo, e nas extremidades do domínio atinge -3, que é o mínimo.

Passo 6

Esboço do gráfico (descrição + pontos-chave)
  • Pontos fundamentais: (-1,-3), (0,0), (1,-3). Escrevendo-os como pares: (-1,-3), (0,0), (1,-3).
  • Simetria: a função é par ( g(-x)=g(x)), então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Forma: é uma parábola que abre para baixo e, em relação à f(x)=-x^{2}, ficou “mais fechada” (mais íngreme) porque os valores negativos são três vezes mais profundos.
  • Uma descrição simples do esboço:
    • Vértice no ponto (0,0).
    • Em x=\pm 1 a altura é -3.
    • Entre -1 e 1 o gráfico é a curva suave de uma parábola decrescendo de 0 até -3 à medida que se vai de 0 para \pm 1.
Um esboço mental: comece em ( -1,-3 ), suba suavemente até o vértice (0,0) e desça simetricamente até (1,-3). Esse é o gráfico de \;g(x)=-3x^{2} restrito a [-1,1].

Passo 7

Recapitulando de forma objetiva e com um empurrãozinho final: você multiplicou todas as alturas por 3, obteve a lei \;g(x)=-3x^{2}, manteve o domínio [-1,1] e viu que os valores vão de -3 até 0. Tá certíssimo — agora, se quiser, desenhe rapidamente os três pontos que eu dei e ligue com uma curva suave para praticar o esboço.

Resposta

\displaystyle g(x)=-3x^{2}
Domínio: [-1,1]
Imagem: [-3,0]

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