Questão 5 Determine a quantidade de números inteiros pertencentes ao domínio da função g dada por
g(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}-6 x+10}{1-x^{2}}}}

Resposta: 1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{x^{2}-6x+10}{1-x^{2}}}}
e pede para determinar a quantidade de números inteiros pertencentes ao domínio de g.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{x^{2}-6x+10}{1-x^{2}}.
  • A função g tem um denominador igual à raiz; portanto a raiz não pode ser zero (porque dividir por zero é proibido).
  • O denominador interno 1-x^{2} não pode ser zero (para evitar divisão por zero dentro da raiz).
  • Precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essas condições e, entre eles, contar quantos são inteiros.

Passo 2

Vamos escrever claramente as condições que definem o domínio de g.
  1. A raiz quadrada exige que o radicando seja estritamente positivo (não pode ser zero porque a raiz está no denominador de g). Logo precisamos de
\frac{x^{2}-6x+10}{1-x^{2}}>0.
  1. Além disso, o denominador interno não pode ser zero:
1-x^{2}\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm1.
Essas duas condições juntas definem o domínio. A partir delas vamos resolver a desigualdade racional e aplicar a restrição x\neq\pm1.

Passo 3

Estudo do numerador x^{2}-6x+10. É útil verificar se ele pode mudar de sinal. Faço a técnica de completar o quadrado:
x^{2}-6x+10=(x^{2}-6x+9)+1=(x-3)^{2}+1.
Como (x-3)^{2}\ge0 para todo x, tem-se (x-3)^{2}+1\ge1. Portanto
x^{2}-6x+10>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Conclusão: o numerador é sempre positivo e nunca zera.

Passo 4

Análise do sinal da fração. Se o numerador é sempre positivo, então o sinal de
\frac{x^{2}-6x+10}{1-x^{2}}
é o mesmo do sinal do denominador 1-x^{2}. Assim a desigualdade da Passo 2
\frac{x^{2}-6x+10}{1-x^{2}}>0
é equivalente (porque dividimos por um positivo) a
1-x^{2}>0.
Esse passo usa a regra: se A>0 então \dfrac{A}{B}>0 se e somente se B>0.

Passo 5

Resolver a desigualdade 1-x^{2}>0. Reescrevendo,
1-x^{2}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<1.
Isto significa
-1<x<1.
Note que essa desigualdade já exclui x=\pm1 (pois é estrita), então a condição adicional x\neq\pm1 está satisfeita automaticamente. Também vale comentar que o radicando nunca é zero porque o numerador é sempre positivo; portanto não há risco de a raiz ser zero.

Passo 6

Concluir o domínio e contar inteiros. O domínio da função é o intervalo aberto
(-1,1).
Os números inteiros que pertencem a esse intervalo são apenas
0.
Logo há exatamente um número inteiro no domínio.

Resposta

1

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