Questão 5 Determine a quantidade de números inteiros pertencentes ao domínio da função
dada por
Resposta: 1
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar a quantidade de números inteiros pertencentes ao domínio de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da raiz é
. - A função
tem um denominador igual à raiz; portanto a raiz não pode ser zero (porque dividir por zero é proibido). - O denominador interno
não pode ser zero (para evitar divisão por zero dentro da raiz). - Precisamos encontrar todos os
que satisfazem essas condições e, entre eles, contar quantos são inteiros.
Passo 2
Vamos escrever claramente as condições que definem o domínio de
.
- A raiz quadrada exige que o radicando seja estritamente positivo (não pode ser zero porque a raiz está no denominador de
). Logo precisamos de
- Além disso, o denominador interno não pode ser zero:
Essas duas condições juntas definem o domínio. A partir delas vamos resolver a desigualdade racional e aplicar a restrição
.
Passo 3
Estudo do numerador
. É útil verificar se ele pode mudar de sinal. Faço a técnica de completar o quadrado:
Como
para todo
, tem-se
. Portanto
Conclusão: o numerador é sempre positivo e nunca zera.
Passo 4
Análise do sinal da fração. Se o numerador é sempre positivo, então o sinal de
é o mesmo do sinal do denominador
. Assim a desigualdade da Passo 2
é equivalente (porque dividimos por um positivo) a
Esse passo usa a regra: se
então
se e somente se
.
Passo 5
Resolver a desigualdade
. Reescrevendo,
Isto significa
Note que essa desigualdade já exclui
(pois é estrita), então a condição adicional
está satisfeita automaticamente. Também vale comentar que o radicando nunca é zero porque o numerador é sempre positivo; portanto não há risco de a raiz ser zero.
Passo 6
Concluir o domínio e contar inteiros. O domínio da função é o intervalo aberto
Os números inteiros que pertencem a esse intervalo são apenas
Logo há exatamente um número inteiro no domínio.
Resposta
1