Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Considere os planos x y, x z e yz em R3, cujas equações cartesianas são dadas por z=0, y=0 e x=0, respectivamente. A porção superior da esfera unitária de centro na origem, dada pelo gráfico de f(x, y)=raiz 1-(x 2+y 2), possui um ponto com plano tangente paralelo ao plano x y. Porém não possui nenhum ponto cujo plano tangente seja paralelo aos plano xz ou yz.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: ela trata do gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=raiz1-(x^2+y^2), que é a porção superior da esfera unitária, e quer saber se existem pontos em que o plano tangente seja paralelo aos planos coordenados xy, xz e yz.

Passo 2

O plano tangente ao gráfico de f num ponto (a,b,f(a,b)) tem normal dado por N = (-fx(a,b),,-fy(a,b),,1). Vamos calcular as derivadas parciais de f.
Para f(x,y)=raiz1-(x^2+y^2) temos
fx(x,y)=-xraiz1-(x^2+y^2),
fy(x,y)=-yraiz1-(x^2+y^2)

Passo 3

Para o plano tangente ser paralelo ao plano xy (cuja normal é (0,0,1)), precisamos de N paralelo a (0,0,1). Isso exige
-fx(a,b)=0 e -fy(a,b)=0, ou seja fx(a,b)=0 e fy(a,b)=0. Isso ocorre só quando a=0 e b=0. Assim existe exatamente um ponto—o pólo norte (0,0,1) da esfera—onde o plano tangente é paralelo ao plano xy.

Passo 4

Para o plano xz (normal (0,1,0)) ou para o plano yz (normal (1,0,0)) exigimos que N seja paralelo a esses vetores. Mas N3=1 nunca pode ser zero, então não há como anular a componente N3. Logo não existe ponto cujo plano tangente seja paralelo ao xz nem paralelo ao yz.

Resposta

A primeira afirmação é verdadeira e a segunda também é verdadeira.

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