Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Considere os planos
,
e yz em R3, cujas equações cartesianas são dadas por
e
, respectivamente. A porção superior da esfera unitária de centro na origem, dada pelo gráfico de
, possui um ponto com plano tangente paralelo ao plano
. Porém não possui nenhum ponto cujo plano tangente seja paralelo aos plano xz ou yz.
Considere os planos
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: ela trata do gráfico da função de duas variáveis
, que é a porção superior da esfera unitária, e quer saber se existem pontos em que o plano tangente seja paralelo aos planos coordenados xy, xz e yz.
Passo 2
O plano tangente ao gráfico de
num ponto
tem normal dado por
. Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Para
temos
Passo 3
Para o plano tangente ser paralelo ao plano xy (cuja normal é
), precisamos de
paralelo a
. Isso exige
Passo 4
Para o plano xz (normal
) ou para o plano yz (normal
) exigimos que
seja paralelo a esses vetores. Mas
nunca pode ser zero, então não há como anular a componente
. Logo não existe ponto cujo plano tangente seja paralelo ao xz nem paralelo ao yz.
Resposta
A primeira afirmação é verdadeira e a segunda também é verdadeira.