Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Seja f:AСR2 R diferenciável no ponto ( x 0, y 0 ) e seja P o plano tangente ao gráfico de fem ( x 0, y 0, f(x 0, y 0) ). Então P tem interseção com o gráfico de f apenas no ponto ( x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), qualquer que seja f .

Passo 1

O enunciado pede para classificar a afirmação: “Seja f:A⊂ℝ²→ℝ diferenciável em (x₀,y₀) e P o plano tangente ao gráfico de f em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)). Então P intersecta o gráfico de f apenas em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)), qualquer que seja f.” O conteúdo envolve diferenciabilidade, plano tangente e interseção com o gráfico.

Passo 2

Lembrando que, se f for uma função linear (ou constante), o seu gráfico já é um plano. Nesse caso, o plano tangente em qualquer ponto coincide exatamente com o gráfico de f.

Passo 3

Como contra-exemplo concreto, considere f(x,y)=x. O gráfico de f é dado por {(x,y,z): z=x}. O plano tangente em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) também é z=x. Logo, P e o gráfico coincidem e têm interseção infinita (não apenas o ponto de tangência).

Passo 4

Portanto a afirmação é falsa, pois encontramos funções diferenciáveis cujo plano tangente intersecta o gráfico em mais de um ponto.

Resposta

Falsa. Por exemplo, para f(x,y)=x, o plano tangente em qualquer ponto é z=x, que coincide com o gráfico e tem interseção infinita.

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