Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Seja f:AСR2
diferenciável no ponto (
) e seja
o plano tangente ao gráfico de fem (
). Então
tem interseção com o gráfico de
apenas no ponto (
)), qualquer que seja f .
Seja f:AСR2
Passo 1
O enunciado pede para classificar a afirmação: “Seja f:A⊂ℝ²→ℝ diferenciável em (x₀,y₀) e P o plano tangente ao gráfico de f em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)). Então P intersecta o gráfico de f apenas em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)), qualquer que seja f.” O conteúdo envolve diferenciabilidade, plano tangente e interseção com o gráfico.
Passo 2
Lembrando que, se f for uma função linear (ou constante), o seu gráfico já é um plano. Nesse caso, o plano tangente em qualquer ponto coincide exatamente com o gráfico de f.
Passo 3
Como contra-exemplo concreto, considere f(x,y)=x. O gráfico de f é dado por {(x,y,z): z=x}. O plano tangente em (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) também é z=x. Logo, P e o gráfico coincidem e têm interseção infinita (não apenas o ponto de tangência).
Passo 4
Portanto a afirmação é falsa, pois encontramos funções diferenciáveis cujo plano tangente intersecta o gráfico em mais de um ponto.
Resposta
Falsa. Por exemplo, para f(x,y)=x, o plano tangente em qualquer ponto é z=x, que coincide com o gráfico e tem interseção infinita.