Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Sejam as funções g 1, g 2: R R de classe C 2 com g 1(0)=g 2(0)=0. Defina f: R 2 R por f(x, y)=g 1(x)+g 2(y). Segue que fé de classe C2 e a aproximação linear de f em ( 0,0 ) é dada por L(x, y)=x g^prime 1(0)+y g^prime 2(0).

Passo 1

O enunciado diz que temos g₁,g₂:ℝ→ℝ de classe C² com g₁(0)=g₂(0)=0 e que f:ℝ²→ℝ é dada por f(x,y)=g₁(x)+g₂(y). Precisamos ver se f é C² e encontrar sua aproximação linear em (0,0). Vamos usar teoria de derivadas parciais, diferenciabilidade e linearização.

Passo 2

Como g₁(x) é C² em x e g₂(y) é C² em y, a soma f(x,y)=g₁(x)+g₂(y) é C² em (x,y). De fato a soma e a composição com projeções coordenares preservam a classe C², garantindo que f tenha todas as derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Passo 3

Para achar a aproximação linear L(x,y) em (0,0) usamos a fórmula L(x,y)=f(0,0)+fₓ(0,0)x+f_y(0,0)y. Calculando as derivadas parciais temos fₓ(x,y)=g₁’(x) e f_y(x,y)=g₂’(y). Em (0,0) isso dá fₓ(0,0)=g₁’(0) e f_y(0,0)=g₂’(0). Além disso f(0,0)=g₁(0)+g₂(0)=0. Logo

Passo 4

L(x,y)=0+g₁’(0),x+g₂’(0),y = x,g₁’(0)+y,g₂’(0).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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