Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Uma função linear
tem a forma
, onde
. A aproximação linear de uma função linear em torno de um ponto
coincide com
em todo o seu domínio.
Uma função linear
Passo 1
O enunciado pede para classificar duas afirmações sobre funções de duas variáveis reais para valores reais: a primeira diz respeito à forma geral de uma “função linear” e a segunda fala sobre sua aproximação linear (linearização). Vamos usar teoria de funções lineares (e afins) e de diferenciação para analisar cada uma.
Passo 2
Uma função é dita linear (no sentido de Álgebra Linear) se e somente se satisfaz aditividade e homogeneidade, o que implica que f(0,0)=0. A forma f(x,y)=ax+by+c com c≠0 não satisfaz f(0,0)=0, de modo que trata-se de uma função afim, não estritamente linear. Portanto, a afirmação de que toda função linear tem a forma f(x,y)=ax+by+c (com c arbitrário) é falsa.
Passo 3
Para verificar a aproximação linear, lembramos que para qualquer função diferenciável f em (x₀,y₀) a linearização é dada por
No caso f(x,y)=ax+by+c temos f_x=a e f_y=b, logo
Assim, a aproximação linear coincide com f em todo o domínio, e a afirmação é verdadeira.
Resposta
Afirmação 1: falsa; Afirmação 2: verdadeira.