Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Classifique as seguintes afirmações:
Uma função linear f: R 2 R tem a forma f(x, y)=a x+b y+c, onde a, b, c in R. A aproximação linear de uma função linear em torno de um ponto (x 0, y 0) in R 2 coincide com f em todo o seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para classificar duas afirmações sobre funções de duas variáveis reais para valores reais: a primeira diz respeito à forma geral de uma “função linear” e a segunda fala sobre sua aproximação linear (linearização). Vamos usar teoria de funções lineares (e afins) e de diferenciação para analisar cada uma.

Passo 2

Uma função é dita linear (no sentido de Álgebra Linear) se e somente se satisfaz aditividade e homogeneidade, o que implica que f(0,0)=0. A forma f(x,y)=ax+by+c com c≠0 não satisfaz f(0,0)=0, de modo que trata-se de uma função afim, não estritamente linear. Portanto, a afirmação de que toda função linear tem a forma f(x,y)=ax+by+c (com c arbitrário) é falsa.

Passo 3

Para verificar a aproximação linear, lembramos que para qualquer função diferenciável f em (x₀,y₀) a linearização é dada por
L(x,y)=f(x₀,y₀)+fx(x₀,y₀)(x-x₀)+fy(x₀,y₀)(y-y₀)
No caso f(x,y)=ax+by+c temos f_x=a e f_y=b, logo
L(x,y)=ax₀+by₀+c+a(x-x₀)+b(y-y₀)=ax+by+c=f(x,y)
Assim, a aproximação linear coincide com f em todo o domínio, e a afirmação é verdadeira.

Resposta

Afirmação 1: falsa; Afirmação 2: verdadeira.

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