Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Então classifique as seguintes afirmações em verdadeiro ou falso:
Uma função f:D subseteq R 2 R ser diferenciável em (x 0, y 0) in D, não garante que as derivadas parciais partial f partial x e partial f partial y sejam contínuas D.

Passo 1

O enunciado pergunta se diferenciabilidade de uma função de duas variáveis num ponto garante que suas derivadas parciais sejam contínuas em todo o domínio. O conteúdo envolve definição de diferenciabilidade e relação com continuidade de derivadas parciais.

Passo 2

Pela definição, f é diferenciável em (x₀,y₀) se ela admite aproximação linear ali, o que garante existência de ∂f/∂x e ∂f/∂y naquele ponto e que o erro de aproximação seja pequeno. Porém, a continuidade dessas derivadas parciais num entorno de (x₀,y₀) é uma hipótese adicional usada no teorema recíproco: “se as derivadas parciais existem num vizinhança e são contínuas em (x₀,y₀), então f é diferenciável em (x₀,y₀)”. A recíproca não vale: diferenciabilidade em um ponto não obriga as derivadas parciais a serem contínuas. Um exemplo clássico é

Passo 3

considere
f(x,y)=x^2yx^4+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
essa função é possível mostrar que f é diferenciável em (0,0) mas as derivadas parciais não tendem uniformemente ao valor em (0,0), logo não são contínuas ali. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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