Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Então classifique as seguintes afirmações em verdadeiro ou falso:
Uma função f:D
ser diferenciável em
, não garante que as derivadas parciais
e
sejam contínuas
.
Uma função f:D
Passo 1
O enunciado pergunta se diferenciabilidade de uma função de duas variáveis num ponto garante que suas derivadas parciais sejam contínuas em todo o domínio. O conteúdo envolve definição de diferenciabilidade e relação com continuidade de derivadas parciais.
Passo 2
Pela definição, f é diferenciável em (x₀,y₀) se ela admite aproximação linear ali, o que garante existência de ∂f/∂x e ∂f/∂y naquele ponto e que o erro de aproximação seja pequeno. Porém, a continuidade dessas derivadas parciais num entorno de (x₀,y₀) é uma hipótese adicional usada no teorema recíproco: “se as derivadas parciais existem num vizinhança e são contínuas em (x₀,y₀), então f é diferenciável em (x₀,y₀)”. A recíproca não vale: diferenciabilidade em um ponto não obriga as derivadas parciais a serem contínuas. Um exemplo clássico é
Passo 3
considere
essa função é possível mostrar que f é diferenciável em (0,0) mas as derivadas parciais não tendem uniformemente ao valor em (0,0), logo não são contínuas ali. Portanto a afirmação é verdadeira.
essa função é possível mostrar que f é diferenciável em (0,0) mas as derivadas parciais não tendem uniformemente ao valor em (0,0), logo não são contínuas ali. Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro