Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Então classifique as seguintes afirmações em verdadeiro ou falso:
Mesmo que as derivadas parciais fx e fy de uma função
sejam contínuas dentro de uma região aberta
, isso não garante que
seja diferenciável em
.
Mesmo que as derivadas parciais fx e fy de uma função
Passo 1
O enunciado afirma que mesmo que as derivadas parciais
e
sejam contínuas numa região aberta
, isso não garantiria que
seja diferenciável em
. Precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Existe um teorema clássico em cálculo multivariável que diz: se as derivadas parciais
e
existem numa vizinhança aberta de um ponto e são contínuas nessa vizinhança, então
é diferenciável nesse ponto (e, por extensão, em toda a região onde essa condição vale).
Passo 3
A afirmação contradiz justamente esse teorema: derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade. Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
Falso