Calcule \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}+x+2}{2 x-1}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2} \frac{2x^{2}+x+2}{2x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser investigada é uma razão entre um polinômio no numerador, 2x^{2}+x+2, e uma função linear no denominador, 2x-1.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
    A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática):
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto: isto significa que, para um polinômio p(x), vale \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer a.
  • Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todo ponto onde o denominador não é zero. Ou seja, se q(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.
Na prática: antes de tentar manipular limites, checar se a substituição direta é válida verificando se o denominador em x=2 é diferente de zero. Se for, basta substituir x=2.

Passo 3

Calcular o numerador em x=2. Substituindo diretamente:
2\cdot(2)^{2} + (2) + 2.
Desenvolvendo passo a passo:
(2)^{2}=4, \qquad 2\cdot 4 = 8,
portanto
8 + 2 + 2 = 12.
Logo o numerador avaliado em x=2 é 12.

Passo 4

Calcular o denominador em x=2. Substituindo:
2\cdot(2) - 1 = 4 - 1 = 3.
Portanto o denominador em x=2 é 3, que é diferente de zero.

Passo 5

Como o denominador em x=2 é diferente de zero, a função racional é contínua em x=2. Assim o limite é igual ao valor da função em x=2. Substituindo os valores que calculamos:
\frac{2\cdot(2)^{2} + 2 + 2}{2\cdot 2 - 1} = \frac{12}{3}.

Resposta

4

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