1. Considere as funções
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+2, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.\right.
(a) Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=1, e, contudo, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=2.
(b) Por que isso não contradiz a Regra de l’Hôpital?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\begin{cases} x+2,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases} \quad g(x)=\begin{cases} x+1,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Queremos (a) calcular \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} e \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}, e (b) explicar por que isso não fere a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Para x\neq0 ambas as funções são lineares:
f(x)=x+2,\quad g(x)=x+1.
Logo
f'(x)=1,\quad g'(x)=1,\quad x\neq0.
Essas derivadas valem em qualquer ponto próximo de 0 (mas não em 0, pois as funções são descontínuas aí).

Passo 3

Como f'(x)=g'(x)=1 para x\neq0, temos
\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to0}\frac{1}{1} =1.

Passo 4

Para x\neq0 vale \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+2}{x+1}. Então
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to0}\frac{x+2}{x+1} =\frac{2}{1} =2.

Passo 5

A regra de l’Hôpital exige que, ao calcular \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}, as duas condições abaixo sejam satisfeitas:
  1. \lim_{x\to0}f(x)=0 e \lim_{x\to0}g(x)=0 (forma indeterminada 0/0).
  2. f e g sejam contínuas em 0 e diferenciáveis num intervalo em torno de 0.
    Aqui, de fato f(0)=g(0)=0, mas \lim_{x\to0}f(x)=2\neq0 e \lim_{x\to0}g(x)=1\neq0.
    Logo o quociente \frac{f(x)}{g(x)} não está em forma indeterminada 0/0, e nem há continuidade de f e g em 0. Por isso não podemos aplicar l’Hôpital e não há contradição.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1 e \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=2.
(b) Porque não se satisfaz a hipótese de forma 0/0 nem a continuidade em 0 exigidas pela regra de l’Hôpital.

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