f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+2, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.\right.
(a) Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=1, e, contudo, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=2.
(b) Por que isso não contradiz a Regra de l’Hôpital?
A regra de l’Hôpital exige que, ao calcular \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}, as duas condições abaixo sejam satisfeitas:
\lim_{x\to0}f(x)=0 e \lim_{x\to0}g(x)=0 (forma indeterminada 0/0).
f e g sejam contínuas em 0 e diferenciáveis num intervalo em torno de 0.
Aqui, de fato f(0)=g(0)=0, mas \lim_{x\to0}f(x)=2\neq0 e \lim_{x\to0}g(x)=1\neq0.
Logo o quociente \frac{f(x)}{g(x)} não está em forma indeterminada 0/0, e nem há continuidade de f e g em 0. Por isso não podemos aplicar l’Hôpital e não há contradição.
Resposta
(a) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1 e \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=2.
(b) Porque não se satisfaz a hipótese de forma 0/0 nem a continuidade em 0 exigidas pela regra de l’Hôpital.