1. Determine a e b, de modo que y=a x+b seja uma assíntota oblíqua da curva y=\frac{4-x^{2}}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes a e b de modo que a reta
y = a x + b
seja a assíntota oblíqua da curva
y = \frac{4 - x^{2}}{x + 1}.
O conteúdo aqui é determinação de assíntota oblíqua em funções racionais, que se obtém fazendo divisão polinomial e tomando o quociente como reta-guia.

Passo 2

Para achar a assíntota oblíqua de uma função racional cuja parte polinomial do numerador tem grau exatamente uma unidade maior que a do denominador, fazemos a divisão do numerador pelo denominador. O quociente será a reta y = a x + b e o resto, dividido por x+1, tende a zero quando \lvert x\rvert\to\infty.

Passo 3

Vamos dividir
4 - x^{2}
por
x + 1.
Organizando em ordem decrescente:
- x^{2} + 0\cdot x + 4 \;\Big\div\; x + 1.

Passo 4

  1. Dividimos -x^{2} por x, obtendo -x.
  2. Multiplicamos -x pelo divisor x+1, dando -x^{2} - x.
  3. Subtraímos desse polinômio:
(-x^{2} + 0x + 4)\;-\;(-x^{2} - x) = x + 4.
  1. Dividimos x por x, obtendo +1.
  2. Multiplicamos 1 pelo divisor, dando x + 1.
  3. Subtraímos:
(x + 4)\;-\;(x + 1) = 3.
Portanto o quociente da divisão é -x + 1 e o resto é 3.

Passo 5

Assim temos
\frac{4 - x^{2}}{x + 1} = -x + 1 \;+\; \frac{3}{x+1}.
Para \lvert x\rvert\to\infty, o termo \frac{3}{x+1} tende a zero, e a assíntota oblíqua é
y = -x + 1.
Logo a = -1 e b = 1.

Resposta

a = -1 e b = 1.

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