Considere as funções f(x)=raizx+5 e g(x)=x^2-4. Encontre:
(a) (f circ g)(x)
(b) (g circ f)(x).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos f(x)=raizx+5 e g(x)=x^2-4. Queremos achar as composições fcirc g e gcirc f. O conteúdo é composição de funções e a principal ideia é substituir uma função na outra.

Passo 2

Para calcular (fcirc g)(x), a gente substitui g(x) no lugar de x em f. Assim,
(fcirc g)(x)=f(g(x))=raiz,g(x)+5,=raizx^2-4+5=raizx^2+1
Como x^2+1 é sempre não negativo, não há restrição extra de domínio além do que já existe.

Passo 3

Para calcular (gcirc f)(x), a gente substitui f(x) no lugar de x em g. Ou seja,
(gcirc f)(x)=g(f(x))=(raizx+5)^2-4=x+5-4=x+1
Aqui vale lembrar que temos a restrição de f, que exige x+5>=0, isto é, x>= -5.

Resposta

(a) (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1} para todo x\in\mathbb{R}. (b) (g\circ f)(x)=x+1, definido para x\ge -5.

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