Considere o PVI com a equação linear de primeira ordem
l d yd x+G(x) y=H(x) y(x0)=y0
Aplique o nosso Teoremão 2 e discuta existência e unicidade de soluções para este PVI.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o PVI dado por
dydx+G(x)y=H(x), y(x0)=y0,
o conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos precisar aplicar o Teoremão 2 sobre existência e unicidade.

Passo 2

Para usar o Teoremão 2, primeiro colocamos a equação na forma canônica
dydx+p(x)y=q(x),
onde aqui identificamos
p(x)=G(x), q(x)=H(x)

Passo 3

O Teoremão 2 de existência e unicidade para ODEs lineares afirma que se as funções p(x) e q(x) forem contínuas em algum intervalo contendo x0, então existe uma única solução
y satisfazendo a condição inicial nesse intervalo.

Passo 4

Logo, bastando assumir que G(x) e H(x) são contínuas em uma vizinhança de x0, garantimos, pelo Teoremão 2, a existência e unicidade da solução do PVI no intervalo onde essa continuidade vale.

Resposta

Se G e H forem contínuas em torno de x0, então, pelo Teoremão 2, existe uma única solução do PVI definida nesse mesmo intervalo.

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