Considere o PVI com a equação linear de primeira ordem
Aplique o nosso Teoremão 2 e discuta existência e unicidade de soluções para este PVI.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o PVI dado por
o conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos precisar aplicar o Teoremão 2 sobre existência e unicidade.
Passo 2
Para usar o Teoremão 2, primeiro colocamos a equação na forma canônica
onde aqui identificamos
Passo 3
O Teoremão 2 de existência e unicidade para ODEs lineares afirma que se as funções
e
forem contínuas em algum intervalo contendo
, então existe uma única solução
y satisfazendo a condição inicial nesse intervalo.
y satisfazendo a condição inicial nesse intervalo.
Passo 4
Logo, bastando assumir que
e
são contínuas em uma vizinhança de
, garantimos, pelo Teoremão 2, a existência e unicidade da solução do PVI no intervalo onde essa continuidade vale.
Resposta
Se
e
forem contínuas em torno de
, então, pelo Teoremão 2, existe uma única solução do PVI definida nesse mesmo intervalo.