Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos dizer se essa convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, observe que a série dada é uma série alternada, porque o termo
faz com que os termos alternem de sinal. Séries alternadas têm uma maneira especial de serem analisadas usando o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os termos
são decrescentes. - O limite de
quando tende a infinito é zero.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, definimos
. Claramente,
para
, então a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos ver se os termos
são decrescentes. Para isso, observamos que conforme
aumenta, tanto
quanto
aumentam, fazendo com que
diminua. Portanto,
é decrescente.
Passo 6
Por último, calculamos o limite de
quando
tende a infinito:
Então, o limite é zero, satisfazendo a última condição do teste.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série original converge.
Passo 8
Agora, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, analisamos a série dos valores absolutos:
Precisamos verificar se essa nova série converge.
Passo 9
Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência da série dos valores absolutos. Consideramos a integral:
Fazendo a substituição
,
, a integral se torna:
Como a integral diverge, a série dos valores absolutos também diverge.
Resposta
A série é convergente condicionalmente.