Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
sumn=2^+infty (-1)^nn raizln (n)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=2^+infty (-1)^nn raizln (n)
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos dizer se essa convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, observe que a série dada é uma série alternada, porque o termo (-1)^n faz com que os termos alternem de sinal. Séries alternadas têm uma maneira especial de serem analisadas usando o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. Os termos an são decrescentes.
  3. O limite de an quando n tende a infinito é zero.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, definimos an = 1n raizln(n). Claramente, an > 0 para n >= 2, então a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos ver se os termos an são decrescentes. Para isso, observamos que conforme n aumenta, tanto n quanto raizln(n) aumentam, fazendo com que an diminua. Portanto, an é decrescente.

Passo 6

Por último, calculamos o limite de an quando n tende a infinito:
limn to infty 1n raizln(n) = 0
Então, o limite é zero, satisfazendo a última condição do teste.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série original converge.

Passo 8

Agora, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=2^+infty 1n raizln(n)
Precisamos verificar se essa nova série converge.

Passo 9

Vamos usar o Teste da Integral para verificar a convergência da série dos valores absolutos. Consideramos a integral:
integral2^+infty 1x raizln(x) , dx
Fazendo a substituição u = ln(x), du = 1x dx, a integral se torna:
integralln(2)^+infty 1raizu , du = [ 2raizu ]ln(2)^+infty = infty
Como a integral diverge, a série dos valores absolutos também diverge.

Resposta

A série é convergente condicionalmente.

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