Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução da velocidade
para a queda livre com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade
Encontre a velocidade limit
, ou seja,
. Compare
com
do Exercício 24.
Passo 1
Temos a EDO
com condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem e, em especial, o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos reescrever a equação de modo a poder integrar cada variável em um lado.
Passo 2
Separamos as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e
do outro. Escrevemos
Agora vamos integrar ambos os lados, de
até
e de
até
.
Passo 3
Para resolver a integral no lado esquerdo, lembramos que
Aqui temos
, ou seja,
. Então
No lado direito, a integral é simplesmente
Passo 4
Igualando os resultados das integrais e usando a condição inicial, obtemos
Multiplicando por
e aplicando a função hiperbólica inversa, temos
e portanto
Isolando
, chega-se a
Passo 5
Para encontrar a velocidade limite
, fazemos
. Sabemos que
quando
. Logo
No Exercício 24, com resistência linear, a velocidade limite era
. Comparando, temos
Dependendo dos valores de
e
, pode-se ver que
difere de
(por exemplo, se
então
).
Resposta
A solução geral é
com velocidade limite
Em comparação com o caso de resistência linear (Exercício 24), onde
, obtemos
$$v_{L,2} = \sqrt{\frac{g}{c}},\quad v_{L,1} = \frac{g}{c}.
$$