Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução da velocidade v(t) para a queda livre com resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade
d vd t=g-c v^2, v(0)=0, c>0
Encontre a velocidade limit vL, 2, ou seja, vL, 2=lim t infty v(t). Compare vL, 2 com vL, 1 do Exercício 24.

Passo 1

Temos a EDO dfracdvdt=g-c,v^2 com condição inicial v(0)=0. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem e, em especial, o método de separação de variáveis. Para resolver, vamos reescrever a equação de modo a poder integrar cada variável em um lado.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos com v de um lado e t do outro. Escrevemos
dvg - c,v^2 = dt
Agora vamos integrar ambos os lados, de v=0 até v=v(t) e de t=0 até t=t.

Passo 3

Para resolver a integral no lado esquerdo, lembramos que
integral dua^2 - u^2 = 1a,arctanhl(uar) + C
Aqui temos a^2 = g/c, ou seja, a=raizg/c. Então
integral0^v dug - c,u^2 = integral0^v dua^2 - u^2 = 1a,arctanhl(var)
No lado direito, a integral é simplesmente integral0^t dt = t

Passo 4

Igualando os resultados das integrais e usando a condição inicial, obtemos
1raizg/c,arctanhl(vraizg/cr) = t
Multiplicando por raizg/c e aplicando a função hiperbólica inversa, temos
arctanhl(vraizg/cr) = raizg,c;t
e portanto
vraizg/c = tanhl(raizg,c;tr)
Isolando v(t), chega-se a
v(t) = raizgc;tanhl(raizg,c;tr)

Passo 5

Para encontrar a velocidade limite vL,2, fazemos ttoinfty. Sabemos que tanh(z)to1 quando ztoinfty. Logo
vL,2 = limttoinfty v(t) = raizgctimes1 = raizgc
No Exercício 24, com resistência linear, a velocidade limite era vL,1 = dfracgc. Comparando, temos
vL,2 = raizgc, vL,1 = gc
Dependendo dos valores de g e c, pode-se ver que vL,2 difere de vL,1 (por exemplo, se g/c>1 então vL,1>vL,2).

Resposta

A solução geral é
v(t) = raizgc;tanhl(raizg,c;tr),
com velocidade limite
vL,2 = raizgc
Em comparação com o caso de resistência linear (Exercício 24), onde vL,1=g/c, obtemos
$$v_{L,2} = \sqrt{\frac{g}{c}},\quad v_{L,1} = \frac{g}{c}.
$$

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