Considere as funções:
,
Construir os gráficos das funções,
, considerando
. É indicado utilizar software.
Construir os gráficos das funções,
Passo 1
Primeiro, resumindo: temos f(x)=sen(x) e queremos desenhar, para cada k∈{-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2}, as funções
• y=f(x)
• g(x)=f(x+k)
• h(x)=f(k·x)
• p(x)=f(x)+k
• q(x)=k·f(x)
Vamos usar as ideias de transformações de gráficos: deslocamento, escala e reflexão.
• y=f(x)
• g(x)=f(x+k)
• h(x)=f(k·x)
• p(x)=f(x)+k
• q(x)=k·f(x)
Vamos usar as ideias de transformações de gráficos: deslocamento, escala e reflexão.
Passo 2
O gráfico de y=f(x)=sen(x) tem amplitude 1, período 2π, começa em (0,0), sobe até 1 em π/2, volta a 0 em π, vai a –1 em 3π/2 e completa em 2π. É nossa referência para as outras.
Passo 3
Para g(x)=sen(x+k) aplicamos deslocamento horizontal:
– Se k>0: desloca o gráfico de sen(x) para a esquerda de |k| unidades.
– Se k<0: desloca para a direita de |k|.
Listando:
k=–2 → sen(x–2): shift 2 à direita
k=–1 → sen(x–1): shift 1 à direita
k=–½ → sen(x–½): shift 0,5 à direita
k=0 → sem shift
k=½ → sen(x+½): shift 0,5 à esquerda
k=1 → sen(x+1): shift 1 à esquerda
k=2 → sen(x+2): shift 2 à esquerda
– Se k>0: desloca o gráfico de sen(x) para a esquerda de |k| unidades.
– Se k<0: desloca para a direita de |k|.
Listando:
k=–2 → sen(x–2): shift 2 à direita
k=–1 → sen(x–1): shift 1 à direita
k=–½ → sen(x–½): shift 0,5 à direita
k=0 → sem shift
k=½ → sen(x+½): shift 0,5 à esquerda
k=1 → sen(x+1): shift 1 à esquerda
k=2 → sen(x+2): shift 2 à esquerda
Passo 4
Para h(x)=sen(k·x) temos escala horizontal e possível reflexão:
• Período novo = 2π/|k|.
• Se k<0, além da escala, há reflexão em relação ao eixo y.
Listando:
k=–2 → período π, refletido no eixo y
k=–1 → período 2π, refletido
k=–½ → período 4π, refletido
k=0 → sen(0·x)=0 (reta y=0)
k=½ → período 4π, sem reflexão
k=1 → período 2π, sem reflexão
k=2 → período π, sem reflexão
• Período novo = 2π/|k|.
• Se k<0, além da escala, há reflexão em relação ao eixo y.
Listando:
k=–2 → período π, refletido no eixo y
k=–1 → período 2π, refletido
k=–½ → período 4π, refletido
k=0 → sen(0·x)=0 (reta y=0)
k=½ → período 4π, sem reflexão
k=1 → período 2π, sem reflexão
k=2 → período π, sem reflexão
Passo 5
Para p(x)=sen(x)+k há deslocamento vertical de k unidades:
k=–2 → desce 2
k=–1 → desce 1
k=–½ → desce 0,5
k=0 → sem deslocamento
k=½ → sobe 0,5
k=1 → sobe 1
k=2 → sobe 2
k=–2 → desce 2
k=–1 → desce 1
k=–½ → desce 0,5
k=0 → sem deslocamento
k=½ → sobe 0,5
k=1 → sobe 1
k=2 → sobe 2
Passo 6
Para q(x)=k·sen(x) há escala vertical e possível reflexão:
• Amplitude = |k|.
• Se k<0, há reflexão em relação ao eixo x.
Listando:
k=–2 → amplitude 2, refletido em x
k=–1 → amplitude 1, refletido
k=–½ → amplitude 0,5, refletido
k=0 → função identicamente zero
k=½ → amplitude 0,5, sem reflexão
k=1 → amplitude 1, sem reflexão
k=2 → amplitude 2, sem reflexão
• Amplitude = |k|.
• Se k<0, há reflexão em relação ao eixo x.
Listando:
k=–2 → amplitude 2, refletido em x
k=–1 → amplitude 1, refletido
k=–½ → amplitude 0,5, refletido
k=0 → função identicamente zero
k=½ → amplitude 0,5, sem reflexão
k=1 → amplitude 1, sem reflexão
k=2 → amplitude 2, sem reflexão
Resposta
Os gráficos de cada família são obtidos aplicando-se essas transformações ao seno padrão:
Para g(x)=sen(x+k): deslocamentos horizontais de ±|k|.
Para h(x)=sen(kx): mudança de período para 2π/|k| e reflexão se k<0.
Para p(x)=sen(x)+k: deslocamento vertical de k.
Para q(x)=k·sen(x): amplitude |k| e reflexão se k<0.
Para h(x)=sen(kx): mudança de período para 2π/|k| e reflexão se k<0.
Para p(x)=sen(x)+k: deslocamento vertical de k.
Para q(x)=k·sen(x): amplitude |k| e reflexão se k<0.
Em software, basta ajustar esses parâmetros para cada k em {–2,–1,–½,0,½,1,2} e traçar.