Considere as funções:
f(x)=1x,
Construir os gráficos das funções, y=f(x), g(x)=f(x+k), h(x)=f(k cdot x), p(x)=f(x)+k e q(x)=k f(x), considerando k=-2,-1,-1 / 2,0,1 / 2,1,2. É indicado utilizar software.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos, usando software, o gráfico da função de base f(x)=1x e de quatro familiares: g(x)=f(x+k), h(x)=f(k,x), p(x)=f(x)+k,e e q(x)=k,f(x), para cada kin-2,-1,-tfrac12,0,tfrac12,1,2. Vamos usar teoria de transformações de funções e, ao final, um script em Python/Matplotlib para gerar todas as curvas.

Passo 2

Começamos lembrando o gráfico de f(x)=tfrac1x: é uma hipérbole com assíntotas em x=0 e y=0, simétrica em relação à origem.

Passo 3

Para g(x)=f(x+k)=tfrac1x+k temos uma translação horizontal do gráfico de f de -k): se k>0, desloca-se k unidades para a esquerda; se k<0, desloca-se |k| unidades para a direita; para k=0, não há deslocamento.

Passo 4

Na função h(x)=f(kx)=tfrac1k,x=(1/k)f(x) combinam-se: uma escala horizontal de fator 1/|k| (compressão se |k|>1, esticamento se |k|<1) e uma escala vertical de fator 1/k (além de reflexão em relação ao eixo x se k<0).

Passo 5

Em p(x)=f(x)+k,e=tfrac1x+k,e aplicamos uma translação vertical de k,e: sobe se k>0, desce se k<0, fica igual a f se k=0.

Passo 6

Para q(x)=k,f(x)=k,tfrac1x há apenas escala vertical de fator k: estica se |k|>1, comprime se |k|<1, e reflete em y se k<0.

Passo 7

A seguir forneço um script em Python com Matplotlib que plota f, g, h, p e q para todos os k dados. Executando-o, você obtém automaticamente os gráficos pedidos.

Resposta

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Valores de k
ks = [-2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2]
x = np.linspace(-10, 10, 2000)
# Evitar x=0 para f(x)
x = x[x!=0]

fig, axes = plt.subplots(4, len(ks), figsize=(4*len(ks), 16))
for i, k in enumerate(ks):
    # f(x)
    axes[0,i].plot(x, 1/x, 'k')
    axes[0,i].set_title(f'f(x), k={k}')
    axes[0,i].axhline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[0,i].axvline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[0,i].set_ylim(-5,5)
    axes[0,i].set_xlim(-10,10)
    # g(x) = f(x+k)
    axes[1,i].plot(x, 1/(x+k))
    axes[1,i].set_title(f'g(x)=1/(x+{k})')
    axes[1,i].axhline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[1,i].axvline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[1,i].set_ylim(-5,5)
    axes[1,i].set_xlim(-10,10)
    # h(x) = f(kx)
    axes[2,i].plot(x, 1/(k*x))
    axes[2,i].set_title(f'h(x)=1/({k}x)')
    axes[2,i].axhline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[2,i].axvline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[2,i].set_ylim(-5,5)
    axes[2,i].set_xlim(-10,10)
    # p(x) = f(x) + k e
    axes[3,i].plot(x, 1/x + k*np.e)
    axes[3,i].set_title(f'p(x)=1/x + {k}e')
    axes[3,i].axhline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[3,i].axvline(0, color='gray', lw=0.5)
    axes[3,i].set_ylim(-5,5)
    axes[3,i].set_xlim(-10,10)

plt.tight_layout()
plt.show()
# E para q(x)=k f(x), basta mudar a linha de h ou p para:
# plt.plot(x, k*(1/x))

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