Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1
Encontre as seguintes informações em relação a f dada ( 0,5 cada item):
a) Determine a f^prime e f^prime prime;
b) Comportamento dos pontos críticos;
c) Intervalos de crescimento e decrescimento;
d) Pontos de inflexão.
f(x)=(x+1)^2-1+x^2 dd x(1)+dd x(x^2)=0+2 x=2 x

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para analisar a função $ f(x) = (x+1)^2 - 1 + x^2 $. Vamos trabalhar com Cálculo Diferencial e Integral, especificamente com derivadas. Para resolver os itens, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas da função, identificar os pontos críticos, determinar onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar os pontos de inflexão. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $:
f(x)
Vamos expandir o termo $ (x + 1)^2 $:
f(x) = (x + 1)^2 - 1 + x^2
Substituindo de volta na função:
(x + 1)^2
Então, a função simplificada é:
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo.
Para derivar $ f(x) = 2x^2 + 2x $, usamos as regras básicas de derivação:
f'(x)
Aplicando isso:
f(x) = 2x^2 + 2x

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $. A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” ou “chorando”.
Derivando $ f’(x) = 4x + 2 $:
f''(x)

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são os valores de $ x $ onde a primeira derivada $ f’(x) $ é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Resolvemos $ f’(x) = 0 $:
x
Então, temos um ponto crítico em $ x = -\frac{1}{2} $.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento nos pontos críticos usando a segunda derivada $ f’’(x) $. Se $ f’’(x) > 0 $, o ponto crítico é um mínimo local; se $ f’’(x) < 0 $, é um máximo local.
No nosso caso, $ f’’(x) = 4 $, que é sempre positivo. Portanto, o ponto crítico em $ x = -\frac{1}{2} $ é um mínimo local.

Passo 7

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso é feito analisando o sinal da primeira derivada $ f’(x) $.
  • Crescendo: quando $ f’(x) > 0 $
  • Decrescendo: quando $ f’(x) < 0 $
A primeira derivada é:
f'(x)
Vamos analisar o sinal de $ f’(x) $:
  1. $ 4x + 2 > 0 $:
f'(x) > 0
  1. $ 4x + 2 < 0 $:
f'(x) < 0
Então:
  • Cresce quando $ x > -\frac{1}{2} $
  • Decresce quando $ x < -\frac{1}{2} $

Passo 8

Por fim, vamos encontrar os pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
No nosso caso, a segunda derivada é constante:
f''(x) = 4
Como $ f’’(x) $ nunca muda de sinal (sempre positivo), não há pontos de inflexão na função.

Resposta

a) As derivadas são $ f’(x) = 4x + 2 $ e $ f’’(x) = 4 $.
b) O ponto crítico está em $ x = -\frac{1}{2} $ e é um mínimo local.
c) A função cresce para $ x > -\frac{1}{2} $ e decresce para $ x < -\frac{1}{2} $.
d) Não há pontos de inflexão na função.

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