Considere as funções f(x, y)=x^2+4 y^2-3 e r(t)=(2 cos t, sin t), t in[0,2 pi].
Calcule nabla f(x, y) e esboce o vetor gradiente nos pontos P1=(2,0), P2=(0,1), P3=(-2,0) e P4=(0,-1), posicionando o ponto inicial de nabla f(Pi) sobre Pi, i=1,2,3,4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de uma função de duas variáveis e desenhar os vetores gradiente em quatro pontos sobre a curva dada. O conteúdo é Cálculo Multivariável, em particular o conceito de gradiente de uma função f(x,y).

Passo 2

Para achar o gradiente nabla f(x,y) usamos a definição: é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f.
Calculamos as derivadas parciais:
  • partial fpartial x(x,y)=partialpartial x(x^2+4y^2-3)=2x.
  • partial fpartial y(x,y)=partialpartial y(x^2+4y^2-3)=8y.
    Logo,
nabla f(x,y) = (2x,;8y)

Passo 3

Agora avaliamos cada ponto:
  • Em P1=(2,0): nabla f(2,0)=(2cdot2,;8cdot0)=(4,0).
  • Em P2=(0,1): nabla f(0,1)=(2cdot0,;8cdot1)=(0,8).
  • Em P3=(-2,0): nabla f(-2,0)=(2cdot(-2),;8cdot0)=(-4,0).
  • Em P4=(0,-1): nabla f(0,-1)=(2cdot0,;8cdot(-1))=(0,-8).

Passo 4

Para esboçar, posicione em cada Pi um vetor partindo do ponto e apontando na direção e sentido do vetor calculado acima.

Resposta

nabla f(x,y)=(2x,8y), com:
nabla f(2,0)=(4,0),;nabla f(0,1)=(0,8),;nabla f(-2,0)=(-4,0),;nabla f(0,-1)=(0,-8).

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