Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificancto culdadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)^{3/2}}
converge ou diverge, justificando cuidadosamente. Informações dadas e observações iniciais:
  • A soma começa em k=2.
  • O termo geral é a_k=\dfrac{1}{k(\ln k)^{3/2}}.
  • Os termos são positivos para todo k\ge2 (pois k>0 e \ln k>0 quando k\ge2).
    A meta é escolher um teste apropriado e verificar todas as hipóteses desse teste para concluir sobre convergência/divergência.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (porque o termo geral pode ser visto como a amostra de uma função contínua, positiva e decrescente) e, como verificação alternativa, também aplicarei o Teste de Condensação de Cauchy (que costuma ser muito eficaz para termos com \ln k). Essas são escolhas simples e robustas para séries com fatores envolvendo \ln k.

Passo 3

Preparação para aplicar o Teste da Integral. Defino a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{3/2}},\qquad x\ge2.
Verifico as hipóteses do teste:
  1. Positividade: para x\ge2 temos x>0 e \ln x>0, logo f(x)>0.
  2. Continuidade: f é contínua em [2,\infty) porque x e \ln x não anulam nem geram singularidade nesse intervalo.
  3. Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para mostrar que f'(x)<0 para x\ge2.
    Calculemos f'(x). Usando regra do produto/quotient:
f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-3/2}.
Derivando,
f'(x) = -x^{-2}(\ln x)^{-3/2} + x^{-1}\left(-\tfrac{3}{2}\right)(\ln x)^{-5/2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando fator comum x^{-2}(\ln x)^{-5/2}:
f'(x) = -x^{-2}(\ln x)^{-5/2}\big(\ln x + \tfrac{3}{2}\big).
Para x\ge2 temos \ln x>0, portanto \ln x + \tfrac{3}{2}>0. Assim f'(x)<0 para todo x\ge2. Concluímos que f é decrescente em [2,\infty).
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicação do Teste da Integral: considerar o integral impróprio
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{3/2}}\,dx.
Faço a substituição natural u=\ln x. Então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 tem-se u=\ln 2; quando x\to\infty tem-se u\to\infty. O integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} u^{-3/2}\,du.
Agora integremos u^{-3/2}. Uma primitiva é
\int u^{-3/2}\,du = \int u^{-\tfrac{3}{2}}\,du = -2\,u^{-1/2} + C.
Avalio o limite impróprio:
\lim_{b\to\infty}\left[-2\,u^{-1/2}\right]_{u=\ln 2}^{u=b} = \lim_{b\to\infty}\big(-2 b^{-1/2} + 2(\ln 2)^{-1/2}\big).
Como \lim_{b\to\infty} b^{-1/2}=0, o valor do integral é finito e igual a
2(\ln 2)^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{\ln 2}}<\infty.
Portanto o integral impróprio converge (é finito).

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Integral: como f é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty) e o integral impróprio \displaystyle\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx converge, o Teste da Integral garante que a série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k(\ln k)^{3/2}}
converge.

Passo 6

Verificação alternativa com o Teste de Condensação de Cauchy (checa e dá maior intuição): seja a_n=\dfrac{1}{n(\ln n)^{3/2}}. Como a_n é positiva e decrescente para n\ge2, o teste de condensação diz que \sum a_n converge se, e somente se, a série condensada
\sum_{m=1}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}
converge. Calculo 2^{m} a_{2^{m}}:
2^{m} a_{2^{m}} = 2^{m}\cdot\frac{1}{2^{m}(\ln 2^{m})^{3/2}} = \frac{1}{(m\ln 2)^{3/2}} = (\ln 2)^{-3/2}\cdot\frac{1}{m^{3/2}}.
Logo a série condensada é uma constante multiplicada pela série p
(\ln 2)^{-3/2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{3/2}}.
Como 3/2>1, a série p com expoente 3/2 converge; portanto a série condensada converge, e pelo Teste de Condensação a série original também converge. Esta verificação alternativa confirma o resultado obtido pelo Teste da Integral.

Resposta

A série converge.

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