Use os testes apropriados para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem, verificancto culdadosamente as hipóteses e justificando todas as suas afirmações.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, justificando cuidadosamente. Informações dadas e observações iniciais:
- A soma começa em
. - O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
(pois e quando ).
A meta é escolher um teste apropriado e verificar todas as hipóteses desse teste para concluir sobre convergência/divergência.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (porque o termo geral pode ser visto como a amostra de uma função contínua, positiva e decrescente) e, como verificação alternativa, também aplicarei o Teste de Condensação de Cauchy (que costuma ser muito eficaz para termos com
). Essas são escolhas simples e robustas para séries com fatores envolvendo
.
Passo 3
Preparação para aplicar o Teste da Integral. Defino a função
Verifico as hipóteses do teste:
- Positividade: para
temos e , logo . - Continuidade:
é contínua em porque e não anulam nem geram singularidade nesse intervalo. - Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para mostrar que
para .
Calculemos. Usando regra do produto/quotient:
Derivando,
Simplificando fator comum
:
Para
temos
, portanto
. Assim
para todo
. Concluímos que
é decrescente em
.
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicação do Teste da Integral: considerar o integral impróprio
Faço a substituição natural
. Então
. Quando
tem-se
; quando
tem-se
. O integral transforma-se em
Agora integremos
. Uma primitiva é
Avalio o limite impróprio:
Como
, o valor do integral é finito e igual a
Portanto o integral impróprio converge (é finito).
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Integral: como
é positiva, contínua e decrescente em
e o integral impróprio
converge, o Teste da Integral garante que a série
converge.
Passo 6
Verificação alternativa com o Teste de Condensação de Cauchy (checa e dá maior intuição): seja
. Como
é positiva e decrescente para
, o teste de condensação diz que
converge se, e somente se, a série condensada
converge. Calculo
:
Logo a série condensada é uma constante multiplicada pela série p
Como
, a série p com expoente
converge; portanto a série condensada converge, e pelo Teste de Condensação a série original também converge. Esta verificação alternativa confirma o resultado obtido pelo Teste da Integral.
Resposta
A série converge.