Esboçe o gráfico das funções a seguir:
f(x, y)=y

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis f definida por
f(x,y)=y,
e pede para esboçar o gráfico dessa função. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função tem domínio (implicitamente) \mathbb{R}^2.
  • O gráfico que se pede é o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tais que z=f(x,y).
  • Portanto o que precisamos desenhar é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem a relação entre x,y,z dada por z=y.

Passo 2

Definição prática do gráfico de uma função de duas variáveis: o gráfico de f é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=f(x,y)\}.
Aplicando aqui temos
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=y\}.
Isto nos diz, sem resolver nada a mais, que o gráfico é uma superfície em \mathbb{R}^3 formada por todos os pontos cuja coordenada z é igual à coordenada y.

Passo 3

Parâmetro simples e interpretação: podemos parametrizar essa superfície usando u=x e v=y. Então
\mathbf{r}(u,v)=(u,v,f(u,v))=(u,v,v),
com u,v\in\mathbb{R}. Isso significa que, ao variar u livremente, a superfície “estende-se” na direção do eixo x; ao variar v, tanto y quanto z mudam na mesma proporção (porque z=v e y=v).

Passo 4

Mostrando que é um plano: da relação z=y escrevemos a forma implícita
z-y=0.
Esta é uma equação linear em x,y,z (note que x não aparece), logo o gráfico é um plano em \mathbb{R}^3. Os coeficientes dão o vetor normal ao plano: para a equação 0\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z =0 o vetor normal é
\mathbf{n}=(0,-1,1).
Explicação do que é o normal: é um vetor perpendicular a qualquer vetor que esteja dentro do plano; por exemplo, os vetores diretores (1,0,0) (movimento apenas em x) e (0,1,1) (aumentar y e z juntos) pertencem ao plano, e de fato \mathbf{n}\cdot(1,0,0)=0 e \mathbf{n}\cdot(0,1,1)=0.

Passo 5

Características geométricas fáceis de visualizar (isto ajuda no esboço):
  • O plano contém o eixo x: pontos com y=0 têm z=0, então (x,0,0) para todo x pertence ao plano — logo o eixo x está contido nele.
  • Para cada constante y=c temos a reta \{(x,c,z)\mid z=c,\\ x\in\mathbb{R}\},isto é, uma reta paralela ao eixo x localizada na altura z=c.
  • Para cada constante x=a a interseção com o plano x=a é a reta no plano yz dada por z=y (uma linha inclinada de 45° no plano yz).
  • As curvas de nível na base ( f(x,y)=c) são linhas horizontais no plano xy: \{(x,y)\mid y=c\}. Essas linhas se elevam na terceira dimensão para retas paralelas ao eixo x em altura z=c.

Passo 6

Inclinação do plano em relação ao plano horizontal ( xy-plano): o vetor normal ao xy-plano é \mathbf{k}=(0,0,1). O ângulo \theta entre os planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Calcula-se
\cos\theta=\frac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{k}}{\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{k}\|}=\frac{1}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo \theta=45^\circ. Em palavras: o plano está inclinado 45^\circ em relação ao plano horizontal, inclinando-se na direção em que y e z aumentam simultaneamente.

Passo 7

Como esboçar na prova (passo a passo prático, sem régua):
  1. Desenhe os três eixos x, y, z com origem comum; faça x saindo para a direita, y para a frente (ou para a direita no plano inferior) e z para cima.
  2. Marque alguns pontos fáceis do plano: (0,0,0), (0,1,1), (0,-1,-1), (1,1,1), (2,0,0).
  3. Desenhe as retas paralelas ao eixo x passando por (0,1,1) e (0,-1,-1) (essas são as interseções com y=1 e y=-1).
  4. Una essas retas formando uma “folha” plana que passa pelo eixo x e sobe/ desce diagonalmente na direção y\leftrightarrow z.
  5. Indique que a inclinação no corte x= constante é uma reta z=y a 45° no plano yz.
Dica de desenho: pense no plano como um “lençol” passando pelo eixo x e girado 45° no sentido que faz z igualar a y.

Passo 8

Resumo intuitivo e incentivo: portanto, o gráfico é um plano simples e bem conhecido — nada de curvas complicadas. Se você desenhar algumas retas para y=c e lembrar que todas são paralelas ao eixo x, o esboço fica imediato. Vai dar certo — respira, desenha três pontos e puxa as retas, e o plano aparece na hora.

Resposta

O gráfico é o plano \;z=y\; no \mathbb{R}^3.

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