Esboçe o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
definida por
e pede para esboçar o gráfico dessa função. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função tem domínio (implicitamente)
. - O gráfico que se pede é o conjunto de pontos
tais que . - Portanto o que precisamos desenhar é o conjunto de pontos
que satisfazem a relação entre dada por .
Passo 2
Definição prática do gráfico de uma função de duas variáveis: o gráfico de
é o conjunto
Aplicando aqui temos
Isto nos diz, sem resolver nada a mais, que o gráfico é uma superfície em
formada por todos os pontos cuja coordenada
é igual à coordenada
.
Passo 3
Parâmetro simples e interpretação: podemos parametrizar essa superfície usando
e
. Então
com
. Isso significa que, ao variar
livremente, a superfície “estende-se” na direção do eixo
; ao variar
, tanto
quanto
mudam na mesma proporção (porque
e
).
Passo 4
Mostrando que é um plano: da relação
escrevemos a forma implícita
Esta é uma equação linear em
(note que
não aparece), logo o gráfico é um plano em
. Os coeficientes dão o vetor normal ao plano: para a equação
o vetor normal é
Explicação do que é o normal: é um vetor perpendicular a qualquer vetor que esteja dentro do plano; por exemplo, os vetores diretores
(movimento apenas em
) e
(aumentar
e
juntos) pertencem ao plano, e de fato
e
.
Passo 5
Características geométricas fáceis de visualizar (isto ajuda no esboço):
- O plano contém o eixo
: pontos com têm , então para todo pertence ao plano — logo o eixo está contido nele. - Para cada constante
temos a reta isto é, uma reta paralela ao eixo localizada na altura . - Para cada constante
a interseção com o plano é a reta no plano dada por (uma linha inclinada de 45° no plano ). - As curvas de nível na base (
) são linhas horizontais no plano : . Essas linhas se elevam na terceira dimensão para retas paralelas ao eixo em altura .
Passo 6
Inclinação do plano em relação ao plano horizontal (
-plano): o vetor normal ao
-plano é
. O ângulo
entre os planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Calcula-se
Logo
. Em palavras: o plano está inclinado
em relação ao plano horizontal, inclinando-se na direção em que
e
aumentam simultaneamente.
Passo 7
Como esboçar na prova (passo a passo prático, sem régua):
- Desenhe os três eixos
, , com origem comum; faça saindo para a direita, para a frente (ou para a direita no plano inferior) e para cima. - Marque alguns pontos fáceis do plano:
, , , , . - Desenhe as retas paralelas ao eixo
passando por e (essas são as interseções com e ). - Una essas retas formando uma “folha” plana que passa pelo eixo
e sobe/ desce diagonalmente na direção . - Indique que a inclinação no corte
constante é uma reta a 45° no plano .
Dica de desenho: pense no plano como um “lençol” passando pelo eixo
e girado 45° no sentido que faz
igualar a
.
Passo 8
Resumo intuitivo e incentivo: portanto, o gráfico é um plano simples e bem conhecido — nada de curvas complicadas. Se você desenhar algumas retas para
e lembrar que todas são paralelas ao eixo
, o esboço fica imediato. Vai dar certo — respira, desenha três pontos e puxa as retas, e o plano aparece na hora.
Resposta
O gráfico é o plano
no
.