Considere as funções
f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y, g(x, y)=sen(2 x-5 y), h(x, y)=e^x y sen y
Determine:
gy x y(pi6, pi3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de ordem três
gyxy(x,y)=partialpartial y!gl(partialpartial xl(gy(x,y)r)gr)
para a função
g(x,y)=sinl(2x-5yr)
no ponto l(tfracpi6,tfracpi3r).
Vamos aplicar sucessivamente a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro calculemos
gy(x,y)=partialpartial ysinl(2x-5yr) =-5cosl(2x-5yr)

Passo 3

Agora derivamos gy em relação a x:
gyx(x,y) =partialpartial xl[-5cos(2x-5y)r] =-5l[-sin(2x-5y)r]cdot2 =10sinl(2x-5yr)

Passo 4

Por fim, derivamos gyx em relação a y:
gyxy(x,y) =partialpartial yl[10sin(2x-5y)r] =10cos(2x-5y)cdot(-5) =-50cosl(2x-5yr)

Passo 5

Avaliaremos em l(x,yr)=l(tfracpi6,tfracpi3r).
Calculamos o argumento:
2x-5y =2cdottfracpi6-5cdottfracpi3 =tfracpi3-tfrac5pi3 =-tfrac4pi3
Como cos(-tfrac4pi3)=cos(tfrac4pi3)=-tfrac12, temos
gyxyl(tfracpi6,tfracpi3r) =-50cdotl(-tfrac12r) =25

Resposta

25

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