Questão 4: Seja
a região localizada no
e
quadrantes do
que está entre as curvas de equação
e
. Neste caso, sendo
uma lâmina que ocupa a região
e sendo
a função que descreve a densidade de massa (em gramas por centímetros quadrados) desta lâmina, esboce a região
e determine a massa total de
.
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma lâmina
cuja densidade superficial é
g/c
e que ocupa a região
do plano entre os círculos de raios
e
, mas restrita aos
.º e
.º quadrantes (isto é, a parte do anel abaixo do eixo
). Vamos usar coordenadas polares, em que
,
e a área elementar é
.
Passo 2
A região
em coordenadas polares é
pois
de
a
cobre os quadrantes
e
, e
de
a
descreve o anel entre os dois círculos.
Passo 3
A massa total é
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Resposta
A massa total da lâmina é
gramas.