Questão 4: Seja D a região localizada no 3^circ e 4^circ quadrantes do R^2 que está entre as curvas de equação x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Neste caso, sendo L uma lâmina que ocupa a região D e sendo sigma(x, y)=6 raizx^2+y^2 a função que descreve a densidade de massa (em gramas por centímetros quadrados) desta lâmina, esboce a região D e determine a massa total de L.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina L cuja densidade superficial é
sigma(x,y)=6raizx^2+y^2 g/c m^2 e que ocupa a região D do plano entre os círculos de raios 1 e 3, mas restrita aos 3.º e 4.º quadrantes (isto é, a parte do anel abaixo do eixo x). Vamos usar coordenadas polares, em que x=rcostheta, y=rsintheta e a área elementar é dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

A região D em coordenadas polares é
1<= r<= 3, pi<= theta<= 2pi,
pois theta de pi a 2pi cobre os quadrantes 3 e 4, e r de 1 a 3 descreve o anel entre os dois círculos.

Passo 3

A massa total é
M=integral duplaDsigma(x,y),dA =integraltheta=pi^2piintegralr=1^3 6,r;l(r,dr,dthetar) =integralpi^2piintegral1^36,r^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral1^36,r^2,dr =6cdot[r^33]1^3 =6cdot3^3-1^33 =6cdot27-13 =6cdot263 =52

Passo 5

Agora integramos em theta de pi a 2pi:
M =integralpi^2pi52,dtheta =52l[,theta,r]pi^2pi =52,(2pi-pi) =52pi

Resposta

A massa total da lâmina é 52pi gramas.

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