Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace das funções abaixo e compare com a tábua de transformadas:
f(x)=x^3

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(x)=x^3. O conteúdo envolve a definição
Lf(x)(s)=integral0^inftye^-sxf(x),dx
e o uso da função Gama ou de integrações por partes para avaliar integrais do tipo integral0^inftyx^ne^-sxdx.

Passo 2

Aplicando a definição ao caso f(x)=x^3, obtemos
Lx^3(s) =integral0^inftye^-sx,x^3,dx

Passo 3

Reconhecemos a integral como a fórmula da função Gama:
integral0^inftyx^ne^-sx,dx =Gamma(n+1)s^,n+1,
onde Gamma(n+1)=n! quando n é inteiro.

Passo 4

Para n=3 temos Gamma(4)=3!=6. Logo,
Lx^3(s) =Gamma(4)s^4 =6s^4

Passo 5

Consultando a tábua de transformadas confirma-se que
Lx^3(s)=6s^4.

Resposta

6s^4

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