Considere as funções
f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y, g(x, y)=sen(2 x-5 y), h(x, y)=e^x y sen y
Determine:
hx y y(0,-pi)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da derivada mista de terceira ordem
hxyy(0,-pi)
para a função
h(x,y)=e^xy,sin y
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação sucessiva da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de h em relação a x. Como h(x,y)=e^xysin y, usando regra da cadeia e produto temos
hx=partialpartial xl(e^xyr)sin y =y,e^xysin y

Passo 3

Em seguida derivamos hx em relação a y para obter hxy. Aplicando produto em y,e^xy e em seguida produto com sin y, temos
hxy =partialpartial yl(y,e^xysin yr) =e^xysin y +yl(x,e^xysin y + e^xycos yr)
Fatorando e^xy,
hxy=e^xyl[sin y,(1+xy)+ycos yr]

Passo 4

Agora derivamos hxy novamente em relação a y para obter hxyy. Escrevendo
hxy=e^xy,B, B=sin y,(1+xy)+ycos y,
temos
hxyy =partialpartial yl(e^xyr)B +e^xy,partial Bpartial y =x,e^xyB +e^xyl[2cos y -ysin yr]
Logo,
hxyy=e^xyl[x,B +2cos y -ysin yr]

Passo 5

Avaliamo em (x,y)=(0,-pi). Como e^0cdot(-pi)=1, sin(-pi)=0, cos(-pi)=-1 e B(0,-pi)=sin(-pi)+(-pi)cos(-pi)=pi, o termo xB some. Assim
hxyy(0,-pi) =1l[0cdotpi +2(-1)-(-pi)cdot0r] =-2

Resposta

-2

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