Encontre o domínio e a imagem das seguintes funções de duas variáveis:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
O conteúdo aqui é análise de domínio envolvendo logaritmo e denominador, e em seguida estudo de imagem usando o fato de que a função é afim em
.
Passo 2
Para o logaritmo
precisamos de
Para o segundo logaritmo
precisamos de
Passo 3
Ao combinar
ou
com
ficamos com
Passo 4
Além disso, para o termo
o denominador não pode ser zero, ou seja
Logo o domínio é
Passo 5
Reescrevendo a parte de logaritmos, note que
válido em todo
. Assim
Passo 6
Para cada
fixo (com
,
), o termo
é constante e
varia linearmente com
. Como
percorre todo
e
, o quociente
também percorre todo
. Portanto, para cada
fixo o valor de
pode ser qualquer real.
Passo 7
Concluímos que, variando
, a função atinge todos os valores reais, ou seja, a imagem de
é
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: