Encontre o domínio e a imagem das seguintes funções de duas variáveis:
f(x, y)=ln (x^2-1)-ln (x+1)+yx-3

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=lnl(x^2-1r);-;lnl(x+1r);+;y,x-3,
O conteúdo aqui é análise de domínio envolvendo logaritmo e denominador, e em seguida estudo de imagem usando o fato de que a função é afim em y.

Passo 2

Para o logaritmo lnl(x^2-1r) precisamos de
x^2-1>0Longrightarrow x<-1 ou x>1
Para o segundo logaritmo ln(x+1) precisamos de
x+1>0Longrightarrow x>-1

Passo 3

Ao combinar x<-1 ou x>1 com x>-1 ficamos com
x>1

Passo 4

Além disso, para o termo yx-3 o denominador não pode ser zero, ou seja
xneq3
Logo o domínio é
l(x,y)inR^2mid x>1,;xneq3,;yinRr

Passo 5

Reescrevendo a parte de logaritmos, note que
lnl(x^2-1r)-lnl(x+1r) =ln!l(x^2-1,x+1,r) =ln(x-1),
válido em todo x>1. Assim
f(x,y)=ln(x-1)+y,x-3,

Passo 6

Para cada x fixo (com x>1, xneq3), o termo ln(x-1) é constante e yx-3 varia linearmente com y. Como y percorre todo R e x-3neq0, o quociente yx-3 também percorre todo R. Portanto, para cada x fixo o valor de f(x,y) pode ser qualquer real.

Passo 7

Concluímos que, variando y, a função atinge todos os valores reais, ou seja, a imagem de f é R.

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid x>1,;xneq3,;yinR
Imagem: R

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