Determine o valor máximo
e mínimo
(e os pontos de máximo e mínimo absolutos) da função
na região compacta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo
e o valor mínimo
da função
dentro da região compacta
, que é basicamente um retângulo no plano com
entre 0 e 4, e
entre 0 e 5. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar pontos críticos e analisar as bordas da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Vamos verificar se esse ponto crítico
está dentro da região
. Como
e
, o ponto está dentro. Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos analisar as bordas da região
para encontrar se existem valores maiores ou menores que 13. A região
tem quatro bordas:
- Borda onde
: . - Borda onde
: . - Borda onde
: . - Borda onde
: .
Vamos analisar cada uma dessas bordas.
Passo 5
1. Borda onde
:
Substituindo
na função:
Isso é uma função quadrática em
, que atinge seu máximo no vértice. O vértice ocorre em
, mas precisamos verificar dentro de
.
Então, o valor máximo nessa borda é 9.
2. Borda onde
:
Substituindo
na função:
Novamente, uma função quadrática em
com o máximo em
:
Então, o valor máximo nessa borda também é 9.
Passo 6
3. Borda onde
:
Substituindo
na função:
Essa é uma função quadrática em
, com máximo no vértice em
:
Então, o valor máximo nessa borda é 4.
4. Borda onde
:
Substituindo
na função:
Novamente, uma função quadrática em
com máximo em
:
Então, o valor máximo nessa borda é 9.
Passo 7
Além dos máximos, também precisamos verificar os valores mínimos. Vamos olhar os valores de
nos cantos da região
:
-
:
-
:
-
:
-
:
O menor valor encontrado nos cantos é 0.
Resposta
O valor máximo da função
na região
é
, que ocorre no ponto
. O valor mínimo é
, que ocorre nos pontos
e
.