Determine o valor máximo M e mínimo m (e os pontos de máximo e mínimo absolutos) da função f(x, y)=4 x+6 y-x^2-y^2 na região compacta R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 4,0 <= y <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo M e o valor mínimo m da função f(x, y) = 4x + 6y - x^2 - y^2 dentro da região compacta R, que é basicamente um retângulo no plano com x entre 0 e 4, e y entre 0 e 5. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como encontrar pontos críticos e analisar as bordas da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região R. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 4 - 2x
fy = partial fpartial y = 6 - 2y
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
4 - 2x = 0 Rightarrow x = 2
6 - 2y = 0 Rightarrow y = 3
Então, temos um ponto crítico em (2, 3).

Passo 3

Vamos verificar se esse ponto crítico (2, 3) está dentro da região R. Como 0 <= 2 <= 4 e 0 <= 3 <= 5, o ponto está dentro. Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
f(2, 3) = 4(2) + 6(3) - (2)^2 - (3)^2 = 8 + 18 - 4 - 9 = 13
Então, f(2, 3) = 13.

Passo 4

Agora, precisamos analisar as bordas da região R para encontrar se existem valores maiores ou menores que 13. A região R tem quatro bordas:
  1. Borda onde x = 0: 0 <= y <= 5.
  2. Borda onde x = 4: 0 <= y <= 5.
  3. Borda onde y = 0: 0 <= x <= 4.
  4. Borda onde y = 5: 0 <= x <= 4.
Vamos analisar cada uma dessas bordas.

Passo 5

1. Borda onde x = 0:
Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 4(0) + 6y - 0^2 - y^2 = 6y - y^2
Isso é uma função quadrática em y, que atinge seu máximo no vértice. O vértice ocorre em y = 62 = 3, mas precisamos verificar dentro de 0 <= y <= 5.
f(0, 3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9
Então, o valor máximo nessa borda é 9.
2. Borda onde x = 4:
Substituindo x = 4 na função:
f(4, y) = 4(4) + 6y - 4^2 - y^2 = 16 + 6y - 16 - y^2 = 6y - y^2
Novamente, uma função quadrática em y com o máximo em y = 3:
f(4, 3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9
Então, o valor máximo nessa borda também é 9.

Passo 6

3. Borda onde y = 0:
Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = 4x + 6(0) - x^2 - 0^2 = 4x - x^2
Essa é uma função quadrática em x, com máximo no vértice em x = 42 = 2:
f(2, 0) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4
Então, o valor máximo nessa borda é 4.
4. Borda onde y = 5:
Substituindo y = 5 na função:
f(x, 5) = 4x + 6(5) - x^2 - 5^2 = 4x + 30 - x^2 - 25 = 4x - x^2 + 5
Novamente, uma função quadrática em x com máximo em x = 42 = 2:
f(2, 5) = 4(2) - 2^2 + 5 = 8 - 4 + 5 = 9
Então, o valor máximo nessa borda é 9.

Passo 7

Além dos máximos, também precisamos verificar os valores mínimos. Vamos olhar os valores de f nos cantos da região R:
  1. (0, 0):
f(0, 0) = 0 + 0 - 0 - 0 = 0
  1. (0, 5):
f(0, 5) = 0 + 30 - 0 - 25 = 5
  1. (4, 0):
f(4, 0) = 16 + 0 - 16 - 0 = 0
  1. (4, 5):
f(4, 5) = 16 + 30 - 16 - 25 = 5
O menor valor encontrado nos cantos é 0.

Resposta

O valor máximo da função f(x, y) na região R é M = 13, que ocorre no ponto (2, 3). O valor mínimo é m = 0, que ocorre nos pontos (0, 0) e (4, 0).

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