Considere as funções f(x)=3^x e g(x)=(13)^x. g é a inversa de f? Demonstre ou dê um contraexemplo.

Passo 1

O enunciado apresenta as funções
f(x)=3^x
g(x)=l(tfrac13r)^x
e pergunta se g é a inversa de f. Vamos usar o conceito de função inversa, que exige
  1. f(g(x))=x para todo x no domínio de g.
  2. g(f(x))=x para todo x no domínio de f.

Passo 2

Segundo a definição, duas funções f e g são inversas se e somente se
fl(g(x)r)=x e gl(f(x)r)=x
para todos os x em seus respectivos domínios.

Passo 3

Calculemos fl(g(x)r):
fl(g(x)r) =3^,g(x) =3^,(1/3)^x
Essa expressão não simplifica para x. Por exemplo, para x=1 temos
fl(g(1)r) =3^(1/3)^1 =3^1/3neq1

Passo 4

Calculemos gl(f(x)r):
gl(f(x)r) =l(tfrac13r)^,f(x) =l(tfrac13r)^3^x
Também não obtém x. Por exemplo, para x=1
gl(f(1)r) =l(tfrac13r)^3^1 =l(tfrac13r)^3 =tfrac127neq1

Passo 5

Como nenhuma das composições retorna a própria variável x para todo x, concluímos que g não é a função inversa de f.
Aliás, a inversa de f(x)=3^x é
f^-1(x)=log3(x),
enquanto g(x)=3^-x=f(-x) é apenas a reflexão de f em torno do eixo y.

Resposta

g não é a inversa de f.

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