Encontre a solução geral de cada equação:
d^3 xd t^3-d^2 xd t^2-4 x=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: a gente tem a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes.
d^3xdt^3 - d^2xdt^2 - 4x = 0
O conteúdo aqui é a técnica de equação característica para achar a solução geral.

Passo 2

Para usar a equação característica, substituímos x(t)=e^rt na EDO, o que leva ao polinômio em r.
r^3 - r^2 - 4 = 0

Passo 3

Procuramos raízes desse polinômio. Um chute natural é r=2, pois
2^3 - 2^2 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0
Logo, (r - 2) é um fator e podemos dividir para obter o fator restante.

Passo 4

Fazendo a divisão de polinômios, achamos
r^3 - r^2 - 4 = (r - 2),(r^2 + r + 2)
Para encontrar as outras raízes, resolvemos
r^2 + r + 2 = 0
cuja fórmula de Bhaskara dá
r = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm iraiz72

Passo 5

Concluindo, as raízes são r1=2 e r2,3=tfrac-1 pm iraiz72. Assim, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear:
x(t) = C1e^2t + e^-t/2l(C2cosl(tfracraiz72tr) + C3sinl(tfracraiz72tr)r)
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t) = C1e^2t + e^-t/2l(C2cosl(tfracraiz72tr) + C3sinl(tfracraiz72tr)r)

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