Fazendo a mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
integral0^2 integral0^raiz4-y^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integral0^raiz4-y^2(x^2+y^2),dx,dy
fazendo a mudança para coordenadas polares. O conteúdo aqui é usar a transformação
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde a área elementar dx,dy vira r,dr,dtheta, e expressar a região e o integrando em termos de r e theta.

Passo 2

Identificamos a região de integração como o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante, ou seja
x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=4
Em polares isso fica
0<= r<=2, 0<=theta<=pi2

Passo 3

O integrando x^2+y^2 em polares é
x^2+y^2=r^2,
e o elemento de área é
dx,dy = r,dr,dtheta
Logo a integral vira
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2r^2,l(r,dr,dthetar) =integral0^pi/2integral0^2r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r:
integral0^2r^3,dr =[r^44]0^2 =2^44 =164 =4

Passo 5

Agora a integral em theta:
integral0^pi/24,dtheta =4[theta]0^pi/2 =4cdotpi2 =2pi

Resposta

O valor da integral é 2pi.

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