Fazendo a mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral duplo usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2(x^2+y^2) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis x e y para r e theta, além de ajustar os limites de integração e a expressão do integrando na nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites de x vão de -1 a 1, e para cada x, y varia de -raiz1-x^2 a raiz1-x^2. Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.
Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o integrando x^2 + y^2 fica:
x^2 + y^2 = r^2
Além disso, precisamos do Jacobian para coordenadas polares, que é r. Então, o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 3

Com isso, nosso integral em coordenadas polares fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo, e r varia de 0 a 1, que é o raio do círculo.

Passo 4

Vamos simplificar o integrando:
r^2 cdot r = r^3
Agora, integramos em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [r^44]0^1 = 14

Passo 5

Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

O valor da integral é pi2.

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