Fazendo a mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse integral duplo usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar as variáveis
e
para
e
, além de ajustar os limites de integração e a expressão do integrando na nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites de
vão de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Isso descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.
Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o integrando
fica:
Além disso, precisamos do Jacobian para coordenadas polares, que é
. Então, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Com isso, nosso integral em coordenadas polares fica:
Aqui,
varia de
a
para cobrir todo o círculo, e
varia de
a
, que é o raio do círculo.
Passo 4
Vamos simplificar o integrando:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 5
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.