Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-4 x^2)-6 g(y)=-raizpi / 2-arctan (y+6)4 S(y)=raizpi / 2-arctan (y-6)4 T(y)=raizpi / 2-arctan (y+6)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo (0, V(pi / 4)) e a inversa é dada por T(y).

Passo 1

A questão pede pra gente verificar se a função f(x)=tanl(tfracpi2-4x^2r)-6 é inversível no intervalo (0,raizpi/4) e, em caso afirmativo, mostrar que sua inversa é T(y)=raizpi/2-arctan(y+6)4. Vamos usar conceitos de monotonicidade (para garantir invertibilidade) e de resolução de equações com tangente e arctan.

Passo 2

Primeiro, note que o argumento de tan é alpha(x)=tfracpi2-4x^2. Em (0,raizpi/4) temos x^2>0 e até x^2, logo alpha(x) varia estritamente de pi/2 (quando xto0^+) até -pi/2 (quando xto(raizpi/4)^-). Como tan é crescente em (-pi/2,pi/2), a composição xmapstotan(alpha(x)) é decrescente (porque alpha(x) é decrescente). Subtraindo 6 não muda a monotonicidade, então f é decrescente e, portanto, injetora nesse intervalo.

Passo 3

Para achar a inversa, igualamos y=f(x) e resolvemos em x:
y = tanl(tfracpi2-4x^2r)-6
Adicionando 6 e aplicando arctan, obtemos
arctan(y+6)=tfracpi2-4x^2
Isolando x:
4x^2 = tfracpi2-arctan(y+6)
$$
x=\sqrt{\frac{\pi/2-\arctan(y+6)}{4}}$$
Esse x=raizpi/2-arctan(y+6)4 positivo coincide exatamente com x, e leva em conta o intervalo de T(y). Portanto x>0.

Passo 4

Concluímos que f é invertível em (0,raizpi/4) e a inversa é T(y).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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