Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
A questão pede pra gente verificar se a função
é inversível no intervalo
e, em caso afirmativo, mostrar que sua inversa é
. Vamos usar conceitos de monotonicidade (para garantir invertibilidade) e de resolução de equações com tangente e arctan.
Passo 2
Primeiro, note que o argumento de
é
. Em
temos
e até
, logo
varia estritamente de
(quando
) até
(quando
). Como
é crescente em
, a composição
é decrescente (porque
é decrescente). Subtraindo 6 não muda a monotonicidade, então
é decrescente e, portanto, injetora nesse intervalo.
Passo 3
Para achar a inversa, igualamos
e resolvemos em
:
Adicionando 6 e aplicando arctan, obtemos
Isolando
:
$$
x=\sqrt{\frac{\pi/2-\arctan(y+6)}{4}}$$
Esse positivo coincide exatamente com
, e leva em conta o intervalo de
. Portanto
.
Esse
Passo 4
Concluímos que
é invertível em
e a inversa é
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.