Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-4 x^2)-6 g(y)=-raizpi / 2-arctan (y+6)4 S(y)=raizpi / 2-arctan (y-6)4 T(y)=raizpi / 2-arctan (y+6)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo ( 0, raiz (pi / 4) ) e a inversa é dada por S(y).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=tan(π/2−4x²)−6, g(y)=−√((π/2−arctan(y+6))/4), S(y)=√((π/2−arctan(y−6))/4) e T(y)=√((π/2−arctan(y+6))/4). A tarefa é verificar se f é invertível em (0,√(π/4)) e se sua inversa é S(y). Vamos usar conceitos de monotonicidade e de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Reescrevendo f(x):
f(x)=tanl(pi2-4x^2r)-6=cot(4x^2)-6
Como x∈(0,√(π/4)), temos 4x²∈(0,π). A função cot(θ) é estritamente decrescente em (0,π), logo f(x) também é estritamente decrescente e, portanto, bijetiva nesse intervalo.

Passo 3

Para achar f⁻¹(y), partimos de y=f(x):
y+6=tanl(pi2-4x^2r)
Isto implica
pi2-4x^2=arctan(y+6)
Logo
4x^2=pi2-arctan(y+6)
Pela positividade de x, obtemos
x=raizpi2-arctan(y+6)4=T(y)

Passo 4

A função S(y)=√((π/2−arctan(y−6))/4) usa arctan(y−6) em vez de arctan(y+6), então S(y)≠f⁻¹(y). Portanto, a afirmação de que a inversa é S(y) é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Na verdade f⁻¹(y)=T(y)=\sqrt{\frac{\pi/2-\arctan(y+6)}{4}}.

Exercícios relacionados