Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo (
) e a inversa é dada por
.
Passo 1
O enunciado define
f(x)=tan(π/2−4x²)−6, g(y)=−√((π/2−arctan(y+6))/4), S(y)=√((π/2−arctan(y−6))/4) e T(y)=√((π/2−arctan(y+6))/4). A tarefa é verificar se f é invertível em (0,√(π/4)) e se sua inversa é S(y). Vamos usar conceitos de monotonicidade e de funções trigonométricas inversas.
f(x)=tan(π/2−4x²)−6, g(y)=−√((π/2−arctan(y+6))/4), S(y)=√((π/2−arctan(y−6))/4) e T(y)=√((π/2−arctan(y+6))/4). A tarefa é verificar se f é invertível em (0,√(π/4)) e se sua inversa é S(y). Vamos usar conceitos de monotonicidade e de funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Reescrevendo f(x):
Como x∈(0,√(π/4)), temos 4x²∈(0,π). A função cot(θ) é estritamente decrescente em (0,π), logo f(x) também é estritamente decrescente e, portanto, bijetiva nesse intervalo.
Passo 3
Para achar f⁻¹(y), partimos de y=f(x):
Isto implica
Logo
Pela positividade de x, obtemos
Passo 4
A função S(y)=√((π/2−arctan(y−6))/4) usa arctan(y−6) em vez de arctan(y+6), então S(y)≠f⁻¹(y). Portanto, a afirmação de que a inversa é S(y) é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Na verdade f⁻¹(y)=T(y)=\sqrt{\frac{\pi/2-\arctan(y+6)}{4}}.