O valor de integral0^pi x cos (x) d x é:
square 0 square pi2 square-pi2 square pi
square-pi square 2 pi square-2 pi square x-2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida integral0^pi x cos(x) , dx. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender essa técnica e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)
Isso porque derivar x simplifica para 1, e integrar cos(x) nos dá sin(x), o que facilita a resolução.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) - integral sin(x) , dx
Agora, vamos resolver a nova integral integral sin(x) , dx.

Passo 5

A integral de sin(x) é:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Então, substituindo de volta na expressão anterior:
integral x cos(x) , dx = x sin(x) + cos(x) + C

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da integral definida de 0 a pi. Isso significa que precisamos avaliar nossa expressão antiderivada nos limites de integração:
[ x sin(x) + cos(x) ]0^pi = ( pi sin(pi) + cos(pi) ) - ( 0 sin(0) + cos(0) )

Passo 7

Sabemos que:
sin(pi) = 0 e cos(pi) = -1
sin(0) = 0 e cos(0) = 1
Substituindo esses valores:
( pi cdot 0 + (-1) ) - ( 0 cdot 0 + 1 ) = (-1) - (1) = -2

Resposta

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