Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo (
e a inversa é dada por
.
Passo 1
A questão quer saber se a função
f(x)=tan\bigl(π/2−4x²\bigr)−6
é inversível no intervalo (−√(π/4),√(π/4)) e, em caso afirmativo, se sua inversa é g(y)=−√\bigl((π/2−arctan(y+6))/4\bigr).
O conteúdo aqui envolve monotonicidade (para garantir injetividade) e encontrar a inversa por armar a equação y=f(x).
f(x)=tan\bigl(π/2−4x²\bigr)−6
é inversível no intervalo (−√(π/4),√(π/4)) e, em caso afirmativo, se sua inversa é g(y)=−√\bigl((π/2−arctan(y+6))/4\bigr).
O conteúdo aqui envolve monotonicidade (para garantir injetividade) e encontrar a inversa por armar a equação y=f(x).
Passo 2
Para ver se f é injetora em (−√(π/4),√(π/4)), calculamos f′(x). Como
f(x)=tan\bigl(π/2−4x²\bigr)−6,
derivando,
f(x)=tan\bigl(π/2−4x²\bigr)−6,
derivando,
Como sec²(…)>0 sempre, o sinal de f′(x) é o de (−x). Então:
- Para x<0, f′(x)>0 ⇒ f é crescente em (−√(π/4),0).
- Para x>0, f′(x)<0 ⇒ f é decrescente em (0,√(π/4)).
Logo, f não é monotônica (nem injetora) no intervalo inteiro simétrico, apenas em cada metade.
Passo 3
Para achar a inversa, igualamos y=f(x):
Aplicando arctan:
Logo
e
Para x<0 (ramo em que f é injetora), temos x=g(y)=−√((π/2−arctan(y+6))/4).
Passo 4
Como a afirmação dizia que f seria inversível sobre todo (−√(π/4),√(π/4)) e sua inversa seria g(y), concluímos que ela é falsa: f só é inversível em cada ramo separado (x<0 ou x>0), não no intervalo inteiro.
Resposta final: a afirmação é falsa. O ramo com inversa g(y) vale apenas para x<0, não para todo o intervalo dado.
Resposta final: a afirmação é falsa. O ramo com inversa g(y) vale apenas para x<0, não para todo o intervalo dado.
Resposta
A afirmação é falsa.