Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-4 x^2)-6 g(y)=-raizpi / 2-arctan (y+6)4 S(y)=raizpi / 2-arctan (y-6)4 T(y)=raizpi / 2-arctan (y+6)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo ( -V(pi / 4), V(pi / 4)) e a inversa é dada por g(y).

Passo 1

A questão quer saber se a função
f(x)=tan\bigl(π/2−4x²\bigr)−6
é inversível no intervalo (−√(π/4),√(π/4)) e, em caso afirmativo, se sua inversa é g(y)=−√\bigl((π/2−arctan(y+6))/4\bigr).
O conteúdo aqui envolve monotonicidade (para garantir injetividade) e encontrar a inversa por armar a equação y=f(x).

Passo 2

Para ver se f é injetora em (−√(π/4),√(π/4)), calculamos f′(x). Como
f(x)=tan\bigl(π/2−4x²\bigr)−6,
derivando,
f(x)=sec²l(π/2−4x²r)·(−8x) ²²
Como sec²(…)>0 sempre, o sinal de f′(x) é o de (−x). Então:
  • Para x<0, f′(x)>0 ⇒ f é crescente em (−√(π/4),0).
  • Para x>0, f′(x)<0 ⇒ f é decrescente em (0,√(π/4)).
    Logo, f não é monotônica (nem injetora) no intervalo inteiro simétrico, apenas em cada metade.

Passo 3

Para achar a inversa, igualamos y=f(x):
y+6=tanl(π/2−4x²r) ²
Aplicando arctan:
arctan(y+6)=π/2−4x² ²
Logo
4x²=π/2−arctan(y+6) ²
e
x=±raizπ/2−arctan(y+6)4
Para x<0 (ramo em que f é injetora), temos x=g(y)=−√((π/2−arctan(y+6))/4).

Passo 4

Como a afirmação dizia que f seria inversível sobre todo (−√(π/4),√(π/4)) e sua inversa seria g(y), concluímos que ela é falsa: f só é inversível em cada ramo separado (x<0 ou x>0), não no intervalo inteiro.
Resposta final: a afirmação é falsa. O ramo com inversa g(y) vale apenas para x<0, não para todo o intervalo dado.

Resposta

A afirmação é falsa.

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