Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-4 x^2)-6 g(y)=-raizpi / 2-arctan (y+6)4 S(y)=raizpi / 2-arctan (y-6)4 T(y)=raizpi / 2-arctan (y+6)4
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo (-V(pi / 4), V(pi / 4)) e a inversa é dada por T(y).

Passo 1

A questão nos dá as funções
f(x)=tanl(pi2-4x^2r)-6, T(y)=raizpi/2-arctan(y+6)4
e pergunta se “ f(x) é inversível em (-raizpi/4,,raizpi/4) e sua inversa é dada por T(y)”. Vamos precisar analisar domínio, monotonicidade e a expressão da inversa.

Passo 2

Primeiro verificamos o domínio de f. Como tan explode quando o argumento é pi/2+kpi, exigimos
pi2-4x^2neqpi2+kpiLongrightarrow4x^2neq kpi
Em particular, para k=0 temos 4x^2neq0, ou seja, xneq0. Logo o domínio de f em (-raizpi/4,,raizpi/4)) exclui x=0 e fica em dois ramos separados.

Passo 3

Em seguida, para testar invertibilidade precisamos que f seja estritamente monotônica em todo o intervalo. Calculamos
ios derivative:
f'(x)=ddxl[tanl(tfracpi2-4x^2r)r] =sec^2l(tfracpi2-4x^2r)cdot(-8x)
Note que sec^2 é sempre positivo. Então o sinal de f'(x) é o de -8x. Isso muda de sinal em x=0, logo f não é monótona em todo (-raizpi/4,,raizpi/4)); só é estritamente crescente ou decrescente em cada ramo separadamente.

Passo 4

Para encontrar a inversa, escrevemos
$$y=\tan\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-4x^2\Bigr)-6\quad\Longrightarrow\quad y+6=\tan\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-4x^2\Bigr).
y=tanl(tfracpi2-4x^2r)-6Longrightarrow y+6=tanl(tfracpi2-4x^2r) \arctan(y+6)=\frac{\pi}{2}-4x2\quad\Longrightarrow\quad4x2=\frac{\pi}{2}-\arctan(y+6)\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\pi/2-\arctan(y+6)}{4}}.
$$
Aí aparecem dois sinais (ramo positivo e negativo), que são exatamente as funções arctan e x^2.

Passo 5

Como o enunciado propõe usar todo o intervalo simétrico e só a função T(y) (raiz positiva), faltaria a parte negativa para cobrir o ramo x<0. Logo não existe uma inversa única sobre (-raizpi/4,,raizpi/4)) dada apenas por T(y).

Passo 6

Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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