Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
A questão nos dá as funções
e pergunta se “
Passo 2
Primeiro verificamos o domínio de
. Como
explode quando o argumento é
, exigimos
Em particular, para
Passo 3
Em seguida, para testar invertibilidade precisamos que
seja estritamente monotônica em todo o intervalo. Calculamos
ios derivative:
ios derivative:
Note que
é sempre positivo. Então o sinal de
é o de
. Isso muda de sinal em
, logo
não é monótona em todo
; só é estritamente crescente ou decrescente em cada ramo separadamente.
Passo 4
Para encontrar a inversa, escrevemos
$$y=\tan\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-4x^2\Bigr)-6\quad\Longrightarrow\quad y+6=\tan\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-4x^2\Bigr).
$$
Aí aparecem dois sinais (ramo positivo e negativo), que são exatamente as funções e
.
Aí aparecem dois sinais (ramo positivo e negativo), que são exatamente as funções
Passo 5
Como o enunciado propõe usar todo o intervalo simétrico e só a função
(raiz positiva), faltaria a parte negativa para cobrir o ramo
. Logo não existe uma inversa única sobre
dada apenas por
.
Passo 6
Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.