Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por
.
Passo 1
A função dada é
, definida no intervalo
. Para ver se é invertível e achar a inversa, vamos usar as propriedades da função tangente e da sua inversa, o arctan.
Passo 2
Começamos definindo
, isto é:
. Mas
, então aqui temos
.
Passo 3
Aplicando
em ambos os lados para isolar
, observamos primeiro que
, então
e daí
.
Logo
.
e daí
Logo
Passo 4
Como o domínio de
é positivo (
), escolhemos o sinal positivo na raiz:
.
Esse resultado coincide com a função dada, não com
(que envolveria
em vez de
). Portanto a inversa de
é
e não
.
Esse resultado coincide com a função
Resposta
A afirmação é falsa. A inversa de
no intervalo dado é
.