Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-3 x^2)-5, g(y)=raizpi / 2-arctan (y+5)3, S(y)=-raizpi / 2-arctan (y+5)3, T(y)=raizpi / 2-arctan (y-5)3,
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo (0, raiz(pi / 3)) e a inversa é dada por T(y).

Passo 1

A função dada é f(x)=tanl(tfracpi2-3x^2r)-5, definida no intervalo xin(0,raiztfracpi3). Para ver se é invertível e achar a inversa, vamos usar as propriedades da função tangente e da sua inversa, o arctan.

Passo 2

Começamos definindo y=f(x), isto é: y+5=tanl(tfracpi2-3x^2r). Mas tanl(tfracpi2-thetar)=cottheta, então aqui temos y+5=cot(3x^2).

Passo 3

Aplicando arctan em ambos os lados para isolar 3x^2, observamos primeiro que cot(3x^2)=tanl(tfracpi2-3x^2r), então

e daí
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Logo
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Passo 4

Como o domínio de x é positivo ( 0,raiztfracpi3), escolhemos o sinal positivo na raiz:
g(y).
Esse resultado coincide com a função T(y) dada, não com y-5 (que envolveria y+5 em vez de f). Portanto a inversa de g(y) é T(y) e não .

Resposta

A afirmação é falsa. A inversa de f no intervalo dado é g(y)=raiztfracpi2-arctan(y+5)3.

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